Diversidad de ideas construidas por estudiantes sobre los números reales, los números irracionales, el orden y la densidad

• Montoro, Virginia ^[1]
  1. [1] Centro Regional Universitario Bariloche. Universidad Nacional el Comahue
• Localización: Revista de Educación Matemática (RevEM), ISSN-e 1852-2890, ISSN 0326-8780, Vol. 37, Nº. 1, 2022, págs. 61-92
• Idioma: español
• DOI: 10.33044/revem.32442
• Títulos paralelos:
  • Diversity of student-built ideas about real numbers, irrational numbers, order and density
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• Resumen
  • español

    Presentamos el análisis de respuestas, de estudiantes de secundaria y de universidad a cuatro tareas que indagan cómo comprenden qué es un número en general y en particular un número irracional, el orden, la densidad y el supremo de un intervalo, en los números reales. Encontramos un gradiente de profundidad en sus ideas desde (i) una visión de los enteros como modelo de número, ajenidad o inseguridad frente a estos aspectos de R, principalmente en estudiantes con menor estudio de matemática.  En una zona intermedia la (ii) concepción de los reales identificados con los decimales finitos y de una discretitud explícita, principalmente en estudiantes de secundaria y (iii) una visión en la cual se identifican a los reales con los racionales y como infinitos-potencialmente densos; presente principalmente en ingresantes a las carreras científicas. Por último y principalmente estudiantes avanzados de Matemática, que (iv) comprenden el orden, la densidad y propiedad del supremo en los reales. Mostramos que para promover que los/las estudiantes se apropien del número real, la enseñanza debe prever para los últimos años de secundaria y primeros de universidad trabajar sobre estas complejas nociones, de modo de facilitar el pasaje de una matemática escolar a una matemática avanzada.

  • English

    We present the analysis of the responses of high school and university students to four tasks that investigate how they understand what a number is in general and an irrational number, the order, the density and the supreme of an interval, in real numbers. We find a depth gradient in these ideas from (i) a view of the integers as a model of number, distancing, or insecurity in front of these aspects of R, mainly in students with less studies in mathematics. In an intermediate zone, the (ii) conception of real numbers is identified with finite decimals and an explicit discretely, mainly in secondary and high school students (iii) a view in which the real numbers are identified with the rational numbers and as infinite potentially dense. Present mainly in first-year students of scientific careers. In the other extreme (iv) mainly advanced students of Mathematics, who understand the order, density, and property of the supreme in the real numbers. We show that to encourage students to appropriate the real number, teachers must anticipate in the last years of high school and the first years of university to work on these complex notions, to facilitate the transition from school mathematics to advanced mathematics.

• Referencias bibliográficas
  • Arcavi, A., Bruckheimer, M., y Ben-Zvi, R. (1987). History of Mathematics forteachers: the case of Irrational Numbers.For the Learning of...
  • Arrigo, G., y D’Amore, B. (2004). Otros hallazgos sobre los obstáculos en la comprensión de algunos teoremas de Georg Cantor. Educación Matemática,16(2),...
  • Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios de cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. En M. Artigue, R. Douady,...
  • Ausubel, D., Novak, J., y Henesiam, H. (1978). Educational psychology: A cognitiveview. New York, USA: Holt, Rinehart and Winston.
  • Behr, M., Lesh, R., Post, T., y Silver, E. (1983). Acquisition of Mathematics Conceptsand Processes. En R. Lesh y M. Landau (Eds.),Rational...
  • Benzécri, J.P. (1973). L’analyse des données (Vol 2). Dunod.
  • Bergé, A. (2008). The completeness property of set of real numbers in the set ofreal numbers in the transition from calculus to analysis....
  • Bergé, A., y Sessa, C. (2003). Completitud y continuidad revisadas a través de 23 siglos. Aportes a una investigación didáctica. Revista Latinoamericana...
  • Cantor, G. (1871). Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie dertrigonometrischen Reihen .Mathematische Annalen,V, 123–132.
  • Cornu, B. (1983). Apprentissage de la notion de limite: Conceptions et Obstacles (TesisDoctoral no publicada). Grenoble, Francia.
  • Crivisqui, E. (1993). Análisis Factorial de Correspondencias. Un instrumento de investigación en ciencias sociales.. Asunción, Paraguay: Laboratorio...
  • Dedekind, J. W. R. (1963). Essays on the theory of numbers: I. Continuity and irrationalnumbers. II. The nature and meaning of numbers. New...
  • Fischbein, E., Jehiam, R., y Cohen, D. (1994). The irrational numbers and the corres-ponding epistemological obstacles (Vol. 2).
  • Fischbein, E., Jehiam, R., y Cohen, D. (1995). The concept of irrational numbersin high-school students and prospective teachers.Educational...
  • Fischbein, E., Tirosh, D., y Hess, P. (1979). The intuition of infinity. EducationalStudies in Mathematics(10), 3–40.
  • Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht, Holanda: D. Reidel.
  • Herscovics, N. (1989). Cognitive obstacles encountered in the learning of algebra.Budapest, Hungría: National Council of Teachers of Mathematics.
  • Juan, M. T., y Montoro, V. (2008). Concepciones de estudiantes de nivel medio sobre aspectos básicos de la noción de infinito en un contexto...
  • Juan, M. T., y Montoro, V. (2015). Cuando infinito es todo [Comunicación de Reporte de Investigación]. XXVIII Reunión de Educación Matemática,...
  • Juan, M. T., Montoro, V., y Scheuer, N. (2012). Colecciones infinitas. Ideas de estudiantes de escuelas secundarias. Educación Matemática,...
  • Khoury, H. A., y Zazkis, R. (1994). On fractions and non-standard representations: Pre-service teachers’ concepts.Educational Studies in Mathematics(27),...
  • Lakoff, G., y Núñez, R. (2000). The Basic Metaphor of Infinity. En Where Mathematics Comes from: How the Embodied Mind Brings Mathematics...
  • Lebart, L., Morineau, A., y Fénelon, J. (1979). Traitement de Donnés Statistiques. Dunod.
  • Lebart, L., Salem, A., y Bécue Bertaut, M. (2000). Análisis estadístico de textos.Milenio.
  • Malara, N. (2001). From fractions to rational numbers in their structure: Outlines foran innovative didactical strategy and the question of...
  • Mayberry, J. (2001). The Foundations of Mathematics. EnTheory of Sets.Cambridge,Inglaterra: Cambridge University Press.
  • Merenluoto, K. (2003).Abstracting the density of numbers on the number line a quasi -experimental study.(Vol. 3). Bergen, Noruega.
  • Merenluoto, K., y Lehtinen, E. (2002). Conceptual change in mathematics: Un-derstanding the real numbers. En M. Limon y L. Mason (Eds.),Reconsidering...
  • Monaghan, J. (2001). Young People’s Ideas of Infinity. Educational Studies inMathematics(48), 239–258.
  • Montoro, V. (1999). La teoría de conjuntos. Una mirada histórica y epistemológica. Cuadernos Universitarios. Centro Regional Bariloche.,33(0).
  • Montoro, V. (2005). Al infinito y más acá: concepciones de estudiantes universitarios. Infancia y Aprendizaje, 28(4), 409–427.
  • Montoro, V., y Scheuer, N. (2004). ¿Cómo piensan el infinito matemático estudiantes universitarios de distintas carreras? Épsilon,60(3), 435–447.
  • Montoro, V., y Scheuer, N. (2006). Distintas formas de pensar el infinito(Vol. 19).
  • Montoro, V., Scheuer, N., y Pérez-Echeverría, M. P. (2016). ¿Cuán abundantes son los conjuntos de números? Estudiantes comparando infinitos....
  • Moreno-Armella, L., y Waldegg, G. (1995). Variación y representación: del número al continuo. Educación Matemática,7(1), 12–28.
  • Moseley, B. (2005). Students’ Early Mathematical Representation Knowledge: The Efects of Emphasizing Single or Multiple Perspectives of the...
  • O’Connor, M. C. (2001). “Can any fraction be turned into a decimal?” A case study of a mathematical group discussion. Educational Studies...
  • Palacios-Amaya, M., Bianchi, V., y Montoro, V. (2018). Estudiantes de escuela secundaria pensando los números racionales. Revista de Educación...
  • Peled, I., y Hershkovitz, S. (1999). Difficulties in knowledge integration: Revisiting Zeno’s paradox with irrational numbers. International...
  • Pozo, J. I. (2014). Psicología del Aprendizaje Humano: adquisición de conocimiento y cambio personal. España: Morata.
  • Pozo, J. I., y Gómez-Crespo, M. A. (1998). Aprender y enseñar ciencia. Del conocimiento cotidiano al conocimiento científico. España: Morata.
  • Pozo, J. I., y Scheuer, N. (1999). Las concepciones sobre el aprendizaje comoteorías implícitas. En J. Pozo y C. Monereo (Eds.),El aprendizaje...
  • Reina, L., y Wilhelmi, M. R. (2017). Mimetismo ostensivo de objetos matemático. El caso de los números irracionales.
  • Rico, L., Castro, E., y Romero, I. (1996). The role of representation systems in the learning of numerical structures( Vol. 1). Valencia,...
  • Romero, I., y Rico, L. (1999). Construcción social del concepto de número real en alumnos de secundaria: Aspectos cognitivos y actitudinales....
  • Santinelli, R. (1999). La teoría de conjuntos. Una mirada histórica y epistemológica. Cuadernos Universitarios. Centro Regional Bariloche.,34(0).
  • Sfard, A. (1994). Reification as the Birth of Metaphor. The Learning of Mathematics,14(1), 44–55.
  • Sfard, A. (2010). A theory bite on infinity: A companion to falk. Cognition and Instruction,28(2), 210-218. Descargado de https://doi.org/10.1080/07370001003676637doi:...
  • Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles relatedto limits . Educational Studies in Mathematics(18), 371–397.
  • Sierpinska, A. (1994). Understanding in Mathematics. Brigthon, Inglaterra: Falmer Press.
  • Sirotic, N., y Zazkis, R. (2004).Irrational numbers: dimensions of knowledge.
  • Sirotic, N., y Zazkis, R. (2007a). Irrational Numbers: The Gap Between Formal and Intuitive Knowlwdge. Educational Studies in Mathematics(65),...
  • Sirotic, N., y Zazkis, R. (2007b). Irrational numbers on the number line: where are they? International Journal of Mathematical Education...
  • Stafylidou, S., y Vosniadou, S. (2004). The development of students’ understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction,14,...
  • Steiner, R. (1984). Teaching About the Real Numbers.The American Mathematical Monthly,91(3), 202–203. doi: 10.1080/00029890.1984.11971526
  • Steinle, V., y Pierce, R. (2006).Incomplete or incorrect understanding of decimals: an important deficit for student nurses(Vol. 5). Praga,...
  • Stevenson, W. S. (2000).Exploring the Real Numbers. Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall.
  • Tall, D. (1991). The Psychology of Advanced Mathematical Thinking. En D. Tall(Ed.), Advanced Mathematical Thinking(Vol. 11, pp. 3–21). Kluwer...
  • Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics(48),200–238.
  • Tall, D. (2004).Thinking Through Three Worlds of Mathematics. Bergen, Noruega.
  • Tall, D., y Schwarzenberger, R. (1978). Conflicts in the learning of real numbers and limits. Mathematics Teaching(82), 44–49.
  • Tall, D., y Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Definition in Mathematics.With Particular Reference to Limits and Continuity. Educational...
  • Tirosh, D., Fischbein, E., Graeber, A., y Wilson, J. (1998).Prospective elementary teachers’ conceptions of rational numbers. Descargado de...
  • Vamvakoussi, X., y Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set ofrational numbers: A conceptual change approach. Learning...
  • Vamvakoussi, X., y Vosniadou, S. (2007). How many numbers are there in a rational numbers’ interval? Constraints, synthetic models and the...
  • Vamvakoussi, X., y Vosniadou, S. (2010). How many decimals are there betweentwo fractions? Aspects of secondary school students’ understanding...
  • Verschaffel, L., Greer, B., y Torbeyns, J. (2006). Numerical thinking. En A. Gutiérrez y P. Boero (Eds.), Handbook of Research on the Psychology...
  • Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal of Mathematical Education in Science...
  • Vinner, S., y Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education,20(4),...
  • Voskoglou, M., y Kosyvas, G. (2012). Analysing students’ difficulties in understanding real numbers. REDIMAT,1(3), 301–226.
  • Vosniadou, S. (Ed.). (2008).International handbook of research on conceptual change. Routledge.
  • Waldegg, G. (1993).La comparaison des ensembles infinis: un cas de résistance àl’instruction(Vol. 5).
  • Ward, J. (1963). Hierarchical grouping to optimize an objective function. Journal American Statistic Association(58), 236–244.
  • Widjaja, W., Stacey, K., y Steinle, V. (2008). Misconceptions about density of decimals: Insights from pre-service teachers’ work. Journal...
  • Yujing, N., y Yong-Di, Z. (2005). Teaching and learning fraction and rationalnumbers: The origins and implications of whole number bias. Educational...
  • Zazkis, R., y Sirotic, N. (2004).Making sense of irrational numbers: Focusing onrepresentation (Vol. 4). Bergen, Noruega.
  • Zazkis, R., y Sirotic, N. (2010). Representing and Defining Irrational Numbers: Exposing the Missing Link. CBMS Issues in Mathematics Education(16),...