Resumen de Significados de las fracciones en las matemáticas escolares y formación inicial de maestros
INTRODUCCIÓN El maestro ocupa un papel central en el proceso de enseñanza y aprendizaje por lo que es im-portante profundizar en su conocimiento profesional y en cómo él lo pone en práctica. El co-nocimiento de los profesores en formación se ha convertido en foco de investigación en las últimas décadas (Ponte y Chapman, 2008). El interés de su estudio radica, entre otros, en la información que puede aportar para la toma de decisiones en la formación inicial de profesores y la posterior mejora de su práctica en el aula de matemáticas. Parte de estas investigaciones se centran en contenidos curriculares específicos, como es el caso de las fracciones, por ser uno de los tópicos que los profesores necesitan conocer para realizar su trabajo con los escolares, y un concepto problemático para los profesores en formación inicial (Ball, 1990; Cramer, Postal y del Mas, 2002; Newton, 2008; Tatto et al., 2012; Tichá y Hospesova, 2013). Unas de las principales razones de esta problemática es el significado reducido que los futuros maestros poseen de conceptos básicos (Ponte y Chapman, 2008), como la relación parte-todo, concepto esencial en aritmética y fundamento de las fracciones (Behr et al, 1983, 1993; Kieren, 1976; Mack, 1990; Steffe y Olive, 1990; Streffland, 1991).
DESARROLLO La investigación que presentamos se centra en el conocimiento del contenido y en el conoci-miento didáctico del contenido que un grupo de estudiantes universitarios del Grado de Edu-cación Primaria de la Universidad de Granada manifiestan acerca de la noción escolar de fracción basada en la relación parte-todo. La necesidad de un diseño metodológico para las distintas fases del estudio que realizamos, coherente con sus objetivos, llevó a seleccionar el análisis didáctico (Rico, Lupiáñez y Molina, 2013) como método para este proceso. En parti-cular, en este trabajo utilizamos las cuatro primeras etapas del análisis didáctico en distintas fases de la investigación. A continuación, describimos brevemente las fases que lo desarrollan.
En primer lugar (fase 0), llevamos a cabo un análisis conceptual de la relación parte-todo. Este primer paso ha sido necesario para profundizar en dicha relación y conseguir precisión y dominio en su uso en las fracciones.
En este estudio teórico hemos identificado significados de esta relación con el propósito de fundamentarla y de establecer sus distintas interpretaciones, incluidas las escolares. La relación parte-todo desempeña funciones diferentes en diversas disciplinas, incluida la propia matemática, entre las que destacamos las de interés para nuestro trabajo en didáctica de la matemática.
En segundo lugar, presentamos el estudio empírico en tres fases. En la primera fase en-cuestamos a los profesores en formación mediante un cuestionario relativo a los conceptos básicos de las fracciones. El cuestionario fue diseñado para establecer su conocimiento sobre la estructura conceptual, sistemas de representación y contextos y modos de uso de las fracciones. A partir del análisis de los datos identificamos y caracterizamos distintos significados atribuidos a dicho concepto por los maestros en formación participantes en el estudio.
En la segunda fase, pusimos nuestra atención en algunos aspectos del conocimiento di-dáctico del contenido. Nos centramos en la planificación inicial para la instrucción de las fracciones a partir de la relación parte-todo. Para ello diseñamos un instrumento compuesto por una serie de viñetas con las que ilustrar la relación parte-todo. A partir de esas imágenes los maestros en formación redactaron una explicación para introducir a los escolares de primaria en el concepto de fracción. Mediante algunas de las componentes del análisis de instrucción, interpretamos el conocimiento sobre la enseñanza de las fracciones que estos futuros maestros manifestaron en sus respuestas.
En la tercera y última fase, concluimos este estudio sobre el conocimiento didáctico del contenido. Nos centramos en el diseño de tareas escolares, planteamiento de expectativas y detección de limitaciones en el aprendizaje, como componentes del análisis cognitivo. A partir de las respuestas previas obtenidas sobre instrucción en las fracciones, profundizamos en el análisis de su aprendizaje. La información se obtuvo a través de una entrevista que constó de una serie de preguntas relativas al aprendizaje de los escolares.
CONCLUSIONES Presentamos las conclusiones que se derivan del desarrollo de esta investigación atendiendo a la consecución de los objetivos y las fases realizadas para cada uno de los objetivos propues-tos. Seguidamente aportamos algunas conclusiones relativas al método del análisis didáctico.
- Conclusiones en relación con la fase 0 El primer objetivo general se abordó a través de un estudio teórico necesario para esclarecer y profundizar en el tópico en el que centramos este estudio: la relación parte-todo como fun-damento de las fracciones. Consideramos que este estudio teórico, en el que se organizan las nociones básicas del concepto de fracción basado en la relación parte-todo, que describe su naturaleza y sus diversas interpretaciones, constituye un aporte original e importante de la investigación.
- Conclusiones en relación con la fase 1 El segundo objetivo se abordó en la primera fase del estudio empírico donde recogimos una extensa cantidad de información acerca del conocimiento de los sujetos asociados a la estruc-tura conceptual, sistemas de representación y contextos del concepto de fracción basado en la relación parte-todo.
Los 358 estudiantes participantes estaban familiarizados con la fundamentación parte-todo de las fracciones, pero gran parte de ellos dieron explicaciones parciales que contienen sólo algunos componentes de esa estructura conceptual (el todo, las partes, la igualdad de las partes y la relación de una de las partes con el todo) conceptos considerados fundamentales para el desarrollo del conocimiento sobre fracciones en los niños (Kieren, 1993). Una estructura conceptual incompleta de la relación parte-todo conlleva dificultades posteriores para dotar de significado a otros conceptos asociados con fracciones, como es el caso de la interpretación de la multiplicación de fracciones como fracción de fracción.
Los resultados de la segunda pregunta, centrada en los sistemas de representación, mos-traron que los participantes expresaron el concepto usando círculos o cuadriláteros divididos en partes iguales, pero apenas consideraron otras representaciones, como las discretas o lineales. El hecho de que la gran mayoría de los participantes en el estudio se inclinara por representar las fracciones mediante áreas de figuras geométricas expresa la escasa variedad de signos y símbolos utilizados. A diferencia de otras investigaciones (Cluff, 2005; Wright, 2008), los participantes en nuestro estudio no respondieron con representaciones simbólicas o numéricas de fracciones, como decimales o porcentajes. La acción de fraccionar promueve secuencias de figuras, que no se producen cuando simplemente se representa el concepto de fracción.
En cuanto a los resultados sobre contextos y modos de uso, las situaciones o problemas inventados por los sujetos hicieron emerger una pluralidad de contextos asociados a la relación parte-todo. Estos contextos no incluyeron interpretaciones como la razón y tasa, que se consideran fundamentales. El análisis puso de manifiesto el hecho sorprendente e inesperado de que los participantes asociaran los contextos constituidos por objetos discretos con la estructura aditiva y los continuos (área y longitud) con las fracciones. Más que por su naturaleza, pensamos que esta dualidad implícita en los alumnos (discreto-aditivo, continuo-fraccionario) es producto de las experiencias y prácticas educativas vividas en su formación previa como escolares de matemáticas por los estudiantes de magisterio participantes.
Destacamos el dato de haber identificado cuatro tipologías de respuestas en función del significado parcial que los sujetos otorgaron al concepto de fraccionar. Los cuatro tipos de significado detectados pueden ser útiles como marco de reflexión y discusión en grupo para los estudiantes de magisterio sobre el significado de la acción de fraccionar, como proceso y la actividad que conlleva el aprendizaje de las fracciones.
Una serie de implicaciones para los programas de formación de profesores de Educación Primaria surgen de estos resultados. La limitada comprensión en alguna de las tres compo-nentes del significado del concepto de fracción muestra la necesidad de insistir en esos aspectos ya que son fundamentales para su enseñanza y aprendizaje. Como parte de la formación docente, el contenido de los cursos de matemáticas debe desarrollar aspectos básicos de los contenidos de las matemáticas escolares, como es el caso de las fracciones, al considerar diferentes aproximaciones, además de la relación parte-todo. De este modo los profesores en formación ampliarán sus concepciones sobre el significado de las fracciones y superarán sus limitaciones.
- Conclusiones en relación con la fase 2 El tercer objetivo de la investigación se abordó a través de una segunda fase del estudio em-pírico. De la información recogida destacamos que, sin ninguna dificultad, los 82 sujetos en-cuestados asumieron el papel de docentes y manifestaron su conocimiento didáctico del con-tenido a través de sus respuestas. Además, manifestaron un conocimiento didáctico del contenido coherente en sus explicaciones. No obstante, a pesar de que los sujetos reconocie-ron los hechos básicos de las fracciones y los pusieron de manifiesto en sus explicaciones junto con otros contenidos, consideramos que en este conocimiento destacó como carencia las limitaciones en la planificación de la secuenciación de los contenidos atendiendo a un orden lógico.
Consideramos que las categorías de respuestas encontradas en las explicaciones relativas a los modos de introducir los contenidos y el uso de representaciones son un aporte de este investigación. Estas categorías muestran distintos perfiles de los participantes en cada una de esas componentes.
- Conclusiones en relación con la fase 3 El cuarto objetivo de este trabajo se abordó en la tercera y última fase del estudio empírico a través de entrevistas realizadas a 9 sujetos que ya habían participado en la fase anterior.
La primera parte de la entrevista, en la que los participantes valoraron cinco contextos simultáneamente para las magnitudes superficie y longitud, nos llevó a concluir que los cinco contextos no fueron igualmente valorados por los participantes, y que la magnitud considerada condicionó la valoración otorgada a cada contexto.
Entre los resultados en la segunda parte de la entrevista sobre el conocimiento sobre el aprendizaje del concepto de fracción, identificamos dos estilos o tendencias expresadas en el conocimiento sobre la enseñanza y aprendizaje del concepto de fracción de los sujetos parti-cipantes en el estudio.
La primera de ellas es una tendencia o estilo que calificamos como procedimental o técnica, en la que el conocimiento manifestado hace hincapié en los procedimientos, procesos o modos de actuación. Particularmente, esta tendencia agrupa a los participantes que plantearon expectativas de tipo procedimental como ¿dividir un objeto en partes iguales¿ o ¿dominar las operaciones con fracciones¿ y que con respecto a las limitaciones, identificaron errores técnicos o dificultades asociadas a los procesos propios de la actividad matemática, principalmente relativas a las operaciones con fracciones como ¿al sumar fracciones, sumar los denomina-dores¿.
La segunda de las tendencias, que llamamos conceptual, destaca un conocimiento sobre el aprendizaje que ha puesto el énfasis en la comprensión funcional de las fracciones y sus relaciones. Esta tendencia se manifestó en los sujetos que enunciaron expectativas de tipo aplicado o conceptual como ¿aprender la utilidad de las fracciones¿ o ¿aprender las fracciones a partir de la división de una cuerda¿ y dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos y al desarrollo cognitivo del alumno.
- Conclusiones sobre el método del análisis didáctico El análisis didáctico, como un procedimiento sistemático, nos guió en el proceso de análisis durante la planificación, en la organización, categorización y análisis de datos así como en la obtención de resultados en las distintas fases de la investigación. Así, en este trabajo se ha mostrado el análisis didáctico como un método útil para evidenciar y describir el conocimiento del maestro en formación inicial sobre un tema concreto de las matemáticas escolares.
Consideramos que un logro de esta investigación ha sido la utilización de las componentes del análisis didáctico para el estudio del conocimiento del contenido y del conocimiento didáctico de los maestros en formación sobre un concepto básico del currículo de matemáticas. En esta investigación se ha puesto de manifiesto su potencialidad para abordar conjuntamente la formación académica y profesional, matemática y didáctica, de los estudiantes universitarios del grado de Educación Primaria.
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