From the Golden ratio to the Plastic number: secant-type methods

• Autores: Natalia Expósito Salmerón
• Directores de la Tesis: Juan Carlos Trillo Moya (dir. tes.) , Pedro Jesús Martínez Aparicio (codir. tes.) , José Carmona Tapia (tut. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Almería ( España ) en 2026
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Vicente Francisco Candela Pomares (presid.) , María Luz Puertas González (secret.) , Neus Garrido Sáez (voc.)
• Programa de doctorado: Programa Oficial de Doctorado en Matemáticas
• Calificación: Sobresaliente Cum Laude
• Texto completo no disponible (Saber más ...)
• Resumen

  • El cálculo de las raíces de una ecuación ha sido uno de los problemas con mayor recorrido dentro de las Matemáticas. Numerosas personalidades a lo largo de la historia presentaron sus algoritmos para resolver ecuaciones de cuarto grado como máximo, demostrando que cualquier ecuación de mayor grado no podía resolverse mediante radicales. Este hecho llevó a indagar sobre métodos numéricos que fueran capaces de hacerlo, además de determinar los ceros de ecuaciones no lineales.

    De los primeros en aparecer fue el método de la Secante, quien también ha sido fuente de inspiración para la tesis doctoral. Asumiendo su convergencia, los preliminares del manuscrito muestran un orden de convergencia igual a la razón áurea. De este modo, se comienzan a presentar a su vez generalizaciones que “suben” el grado del polinomio a estudiar: el método de Müller y el método de la Cúbica Secante.

    Siguiendo este camino, el segundo capítulo construye una generalización del método de la Secante para polinomios de mayor grado, donde los sucesivos órdenes de convergencia forman una secuencia creciente con límite p = 2, aproximándose al orden de convergencia del método de Newton, sin necesidad del cómputo de derivadas.

    El capítulo 3 está dirigido a mejorar, aún más, dicho orden de convergencia. Para conseguirlo, se detallan dos posibilidades. La primera de ellas involucra a métodos tipo-secante diferentes en cada iteración, lo que conduce a un orden de convergencia superior a 2. La segunda empieza con el método de Steffensen en la primera iteración para continuar con distintos métodos tipo-secante en las siguientes iteraciones, provocando un orden de convergencia de 2k, donde k denota el grado del polinomio.

    Una vez hemos analizado la mejora del orden de convergencia, planteamos en el cuarto capítulo una interpretación geométrica sin precedentes del método de la Secante vinculada con la media armónica y la forma de un trapecio.

    La investigación lleva poder expresar, también, este método mediante dos medias clásicas como son la armónica y la aritmética al mismo tiempo. Incluso, la media aritmética por sí sola sirve como reformulación para el algoritmo del método de la Bisección. Sin duda, se abre camino una estructura geométrica más profunda detrás de estos métodos iterativos.

    El quinto capítulo desarrolla una serie de medias adaptadas para mejorar la estabilidad o acelerar la convergencia del método. La media powerp, propuesta originalmente por A. Marquina y S. Serna, es el origen de nuestra motivación para definir, usando la simetría, tres familias novedosas de medias. Se comprueban una serie de interesantes propiedades que acaban ensalzando una relación entre todas ellas.

    Como se observa desde un principio, la única raíz real de la ecuación clásica xk+1-xk-xk-1-…-x3-x2-x-1=0 generaliza la razón áurea, siendo el orden de convergencia de los métodos tipo-secante. ¿Qué sucedería si tomáramos como orden de convergencia la única raíz real positiva de la ecuación x2k+1-x2k-1-x2k-3-…-x3-x-1=0? El capítulo 6 amplia aún más nuestro enfoque inicial con el estudio de este nuevo polinomio y su raíz positiva, la generalización del número plástico. De hecho, se explica un método numérico para k = 1, con orden de convergencia el número plástico. Además, se estudian en profundidad sus dos raíces reales negativas y el resto de raíces complejas.