On fractional caloric capacities in several function spaces

• Autores: Joan Hernandez Garcia
• Directores de la Tesis: Laura Prat Baiget (dir. tes.) , Joan Mateu Bennassar (codir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Autònoma de Barcelona ( España ) en 2025
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 242
• Tribunal Calificador de la Tesis: Michail Mourgoglou (presid.) , Xavier Tolsa Domènech (secret.) , María Carmen Reguera (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: TDX
• Resumen
  • español

    Esta tesis caracteriza los conjuntos compactos evitables para soluciones de ecuaciones calóricas fraccionarias que satisfacen ciertas condiciones de regularidad. Concretamente, introducimos las capacidades calóricas fraccionarias para medir si determinados conjuntos compactos, en los cuales a priori la función no cumple la ecuación, pueden admitirla como solución. Este estudio se lleva a cabo asumiendo que la solución satisface condiciones de regularidad del tipo BMO, Hölder o Lipschitz, todas ellas definidas en un contexto parabólico fraccionario. Además, en algunos casos logramos identificar estas capacidades con contenidos de Hausdorff parabólicos. También proporcionamos estimaciones y valores exactos de las capacidades de conjuntos de Cantor, mediante fórmulas que incorporan información específica sobre su geometría, la dimensión del espacio ambiente y el parámetro fraccionario de la ecuación de difusión. Finalmente, abordamos el problema, en apariencia sencillo, de determinar la capacidad 1/2-calórica de un rectángulo en un contexto planar (dimensión 2). En una variante simétrica de esta capacidad, obtenemos una fórmula que explicita su naturaleza anisótropa, lo que revela un comportamiento esencialmente diferente del de otras capacidades conocidas en el plano, como la analítica o la newtoniana. Además, en el proceso de estudio de este problema, demostramos la semiaditividad de la capacidad simétrica 1/2-calórica en el plano.

  • català

    Aquesta tesi caracteritza els conjunts compactes evitables per a solucions d'equacions calòriques fraccionàries que satisfan certes condicions de regularitat. Concretament, introduïm les capacitats calòriques fraccionàries per mesurar si determinats conjunts compactes, en els quals a priori la funció no compleix l’equació, poden admetre-la com a solució. Aquest estudi es realitza assumint que la solució satisfà condicions de regularitat del tipus BMO, Hölder o Lipschitz, totes elles definides en un context parabòlic fraccionari. A més, en alguns casos aconseguim identificar aquestes capacitats amb continguts de Hausdorff parabòlics. També proporcionem estimacions i valors exactes de les capacitats de conjunts de Cantor, mitjançant fórmules que incorporen informació específica sobre la seva geometria, la dimensió de l’espai ambient i el paràmetre fraccionari de l’equació de difusió. Finalment, abordem el problema, en aparença senzill, de determinar la capacitat 1/2-calòrica d’un rectangle en un context planar (dimensió 2). En una variant simètrica d’aquesta capacitat, obtenim una fórmula que explicita la seva naturalesa anisòtropa, fet que revela un comportament essencialment diferent del d’altres capacitats conegudes al pla, com l’analítica o la newtoniana. A més, en el procés d’estudi d’aquest problema, demostrem la semiadditivitat de la capacitat simètrica 1/2-calòrica al pla.

  • English

    This thesis characterizes the removable compact sets for solutions of fractional caloric equations that satisfy certain regularity conditions. Specifically, we introduce fractional caloric capacities to measure whether certain compact sets, where the function does not a priori satisfy the equation, can still admit it as a solution. This study is conducted under the assumption that the solution satisfies regularity conditions of the BMO, Hölder, or Lipschitz type, all defined in a fractional parabolic context.

    Furthermore, in some cases, we succeed in identifying these capacities with parabolic Hausdorff contents. We also provide estimates and exact values for the capacities of Cantor sets, using formulas that incorporate specific information about their geometry, the dimension of the ambient space, and the fractional parameter of the diffusion equation.

    Finally, we address the seemingly simple problem of determining the 1/2-caloric capacity of a rectangle in a planar context (dimension 2). For a symmetric variant of this capacity, we obtain a formula that explicitly describes its anisotropic nature, revealing an essentially different behavior compared to other known capacities in the plane, such as the analytic or Newtonian ones. Additionally, in the process of studying this problem, we prove the semi-additivity of the symmetric 1/2-caloric capacity in the plane.