Exploring uncertainty quantification via deep learning in inverse problems

• Autores: Oscar Alberto Rodríguez Melendez
• Directores de la Tesis: David Pardo Zubiaur (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea ( España ) en 2024
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Sergei Alyaev (presid.) , Elisabete Alberdi Celaya (secret.) , Jamie Michael Taylor (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: ADDI
• Resumen

  • Con los avances en geofísica, existe un esfuerzo concertado para identificar las propiedades del subsuelosin medidas invasivas. Los métodos actuales permiten estimar estas propiedades basándose enmediciones de superficie, y estimar estas propiedades se conoce como problema inverso. Sin embargo,resolver esto requiere conocimiento del problema directo asociado, que modela la generación de estasmediciones a partir de las propiedades del subsuelo.Actualmente se emplean diversas metodologías, entre ellas aquellas que aprovechan el aprendizajeprofundo, para abordar problemas tanto inversos como directos. En esta tesis, proponemos tresmetodologías de redes neuronales destinadas a reducir el tiempo de entrenamiento u obtener estimacionesmás precisas: (a) dos técnicas de muestreo novedosas. Primero, un método de remuestreo basado engradientes que genera submuestras acorde a una función de probabilidad acumulativa derivada de losgradientes de los datos, mejorando el descenso de gradiente estocástico en comparación con elsubmuestreo uniforme. En segundo lugar, un método de muestreo adaptativo que genera muestras enregiones donde el ajuste de la red neuronal excede un criterio de error máximo predefinido, facilitando elentrenamiento con una base de datos inicial más pequeña que se expande según sea necesario; (b) unaregla de cuadratura de Monte Carlo basada en la memoria para el método Deep Ritz con el que se reducela variación en la estimación de energía. Dado un parámetro de memoria, esta técnica reducesignificativamente la varianza de la estimación de energía con un cálculo computacional comparable almétodo Deep Ritz; (c) un método para entrenar discretizaciones de Galerkin para aprender eficientementecantidades de interés de soluciones a una ecuación diferencial parcial paramétrica. El componente centralde nuestro enfoque es una formulación eficiente mínima residual ponderada por una red neuronal que,después del entrenamiento, proporciona aproximaciones basadas en Galerkin en espacios discretosestándar que estiman con precisión cantidades de interés, independientemente de la tosquedad del espaciodiscreto.Si bien estos métodos mejoran los resultados en comparación con los enfoques clásicos, esta tesis secentra en cuantificar la incertidumbre en problemas inversos. Dado que los métodos basados en redesneuronales para problemas inversos son computacionalmente eficientes, proponemos combinar redesneuronales con estadística bayesianas para cuantificar la incertidumbre de estas soluciones y obtener másde una solución a problemas inversos con múltiples soluciones. Usamos una función de pérdida quefusiona redes neuronales con la formulación bayesiana, conocida como divergencia de Kullback-Leibler ofunción de pérdida de límite inferior de evidencia. Esta combinación se utiliza en un autocodificadordonde el codificador se aproxima al operador inverso con la cuantificación de la incertidumbre asociada yel decodificador proporciona la solución numérica del problema directo. Dada esta perspectiva,generamos: (1) un modelo de autocodificador variacional que ofrece una aproximación de distribuciónGaussiana de la distribución posterior asociada con el problema inverso, donde la media representa laestimación puntual y la varianza indica la cuantificación de la incertidumbre; y (2) un autocodificadorvariacional multimodal que ofrece una mezcla de distribuciones Gaussianas que se aproximan a ladistribución posterior. Este modelo proporciona probabilidades de ocurrencia de múltiples soluciones consu respectiva cuantificación de incertidumbre, ayudando a identificar la configuración más probable.Los métodos desarrollados en esta tesis, anteriormente mencionados, son implementados para resolverdos problemas inversos: tomografía de impedancia eléctrica en dos dimensiones y magnetotelúrico en unadimensión.