Resumen de Enseñanza de las Funciones Exponenciales en la escuela secundaria. Aspectos didácticos y cognitivos

Diana Patricia Sureda Figueroa

• español

  Esta tesis se centra en el análisis de la conceptualización de cuatro grupos de alumnos del colegio secundario [15-16 años] que mediante una Actividad de Estudio e Investigación [AEI], estudian el campo conceptual de las funciones exponenciales. Dado que el dispositivo AEI fue propuesto por Chevallard (2004) para enfrentar el proceso de monumentalización del saber, y para devolverle al alumno su “lugar” en la clase de matemática, la AEI retoma la preocupación de la reconstrucción funcional de los conocimientos matemáticos como respuesta a ciertos tipos de situaciones problemáticas y prioriza la participación del alumno en la construcción del conocimiento.

  Para la delimitación del campo conceptual de las funciones exponenciales y el estudio de la conceptualización, se utilizan los constructos teóricos propuestos por la Teoría de los Campos Conceptuales (Vergnaud; 1990, 1996, 2005, 2007, 2010). Mientras que para el diseño, la implementación y el ajuste del dispositivo AEI arriba mencionado se utiliza la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard; 1999, 2001, 2004, 2007, 2009).

  El análisis de las situaciones de enseñanza y la evaluación que componen la AEI, permiten reconocer que la forma de estudio ligada a las situaciones de enseñanza diseñadas, propiciaron la conceptualización de la función exponencial, en los cinco sistemas de representación. A grandes rasgos, es posible reconocer seis etapas que conforman el proceso de conceptualización de la función exponencial. Las seis etapas son: Totalmente Lineal – Parcialmente Lineal – Parcialmente No Lineal – No Lineal – Parcialmente Exponencial – Exponencial. El análisis de los protocolos muestra también la estrecha relación entre los sistemas de representación de los estudiantes y sus invariantes operatorios.

  Aunque esta conceptualización no va más allá del nivel que Vergnaud denomina explicitable, es necesario advertir que la función exponencial es un concepto complejo, y que como toda conceptualización es una tarea de largo aliento que va más allá de los dos meses que demandó la implementación de una AEI.

• English

  This thesis is focused on the analysis of the conceptualization of four groups of high school students [15-16 years] that, throughout a Study and Research Activity [AEI], study the conceptual field of exponential functions. As the AEI device is proposed by Chevallard (2004) to face the monumentalization process of learning and, therefore to return the student to their "place" in math class, the AEI picks up the threads about the concern of the functional reconstruction of mathematical knowledge as a response to certain types of problematic situations, and emphasizes the students participation in the construction of knowledge.

  The theory of conceptual fields (Vergnaud, 1990, 1996, 2005, 2007, 2010) is used to precise the conceptual field of the exponential functions and the study of the conceptualization; for the design, implementation and adjustment of AEI device, is used the Anthropological Theory of Didactics (Chevallard, 1999, 2001, 2004, 2007, 2009).

  The analysis of teaching and testing situations that take part of the AEI shows us the way of study that occurs when the teaching situations are designed and how it collaborates with the conceptualization of the exponential function in the five systems of representation. Broadly speaking, it is possible to recognize six stages that shape the process of conceptualization of the exponential function. The six stages are: Totally linear - Partially linear - Partially not linear - Not linear - Partially exponential - Exponential. The protocols analysis shows also the close relation between the student representation systems and its operative invariants.

  Though this concept does not go beyond the level that Vergnaud denominates ‘explicit’, it is necessary to clear that the exponential function is a complex concept, which as any conceptualization is a hard and long task that goes beyond two months that the implementation of an AEI sued.

• français

  Cette thèse se concentre sur l'analyse de la conceptualisation de quatre groupes d'élèves du collège secondaire [15 – 16 ans] qui étudient le champ conceptuel des fonctions exponentielles au moyen d'une Activité d'Étude et de Recherche [AEI]. Étant donné que le dispositif AEI a été proposé par Chevallard (2004) pour faire face au processus de monumentalisatión des savoirs, et le remettre à l'élève son "lieu" dans la classe des mathématiques;

  l'AEI reprend la préoccupation de la reconstruction fonctionnelle des connaissances mathématiques comme réponse à certains types de situations problématiques, et est reconstruite dans une dynamique d'étude qui priorise la participation de l'élève dans la construction de la connaissance.

  Pour la délimitation du champ conceptuel des fonctions exponentielles et l'étude de la conceptualisation, on utilise les construits théoriques proposés par la Théorie des Champs Conceptuels (Vergnaud; 1990, 1996, 2005, 2007, 2010). Alors que pour le dessin, l'implémentation et l'ajustement du dispositif AEI antérieurement mentionné on utilise la Théorie Anthropologique du Didactique (Chevallard; 1999, 2001, 2004, 2007, 2009).

  L'analyse des situations d'enseignement et l'évaluation qu'elles composent l'AEI, elles permettent de reconnaître que la forme d'étude liée aux situations d'enseignement dessinées, elles ont favorisé la conceptualisation de la fonction exponentielle, dans les cinq systèmes de représentation. À grands traits, il est possible de reconnaître six étapes qui conforment le processus de conceptualisation de la fonction exponentielle. Les six étapes sont:

  Totalement linéaire - Partiellement Linéaire - Partiellement Non linéaire - Non linéaire - Partiellement Exponentiel - Exponentiel. L'analyse des protocoles montre aussi la relation étroite entre les systèmes de représentation des étudiants et ses invariantes opératoires.

  Bien que cette conceptualisation n'aille pas au-delà du niveau que Vergnaud dénomme explicitable, il est nécessaire de prévenir que la fonction exponentielle est un concept complexe et qui comme toute conceptualisation est une tâche de longue respiration qui va au-delà des deux mois que l'implémentation d'une AEI a demandés.