A Boolean-valued Models Approach to L-Convex Analysis, Conditional Risk and Stochastic Control

• Autores: José Miguel Zapata García
• Directores de la Tesis: José Orihuela Calatayud (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Murcia ( España ) en 2018
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • Una aproximación al Análisis L-Convexo, al riesgo condicional y al control estocástico basada en modelos con valores booleanos
• Tribunal Calificador de la Tesis: Stanimir Troyanski (presid.) , Antonio Avilés López (secret.) , Mathieu Kessler (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: DIGITUM
• Resumen
  • español

    El análisis con Valores Booleanos es una rama del análisis funcional, que consiste en estudiar las propiedades de objetos matemáticos a través de sus interpretaciones en distintos modelos de la teoría de conjuntos cuyas construcciones utilizan distintas álgebras de Boole. El análisis con valores Booleanos proviene de la formalización dada por Scott, R. Solovay, and P. Vopenka del método de forzamiento que Paul Cohen usó para probar la hipótesis del continuo.

    La teoría de dualidad de medidas de riesgo es una rama de las matemáticas financieras. En particular, la teoría de dualidad de medidas de riesgo condicionales estudia el caso en el que se considera un flujo de información dinámica en el tiempo. La dificultad de este problema ha motivado recientes desarrollos en análisis funcional como el análisis L0-convexo y la teoría de conjuntos condicionales. Esta tesis tiene por objetivo: 1. Mostrar que tanto el análisis L0-convexo como la teoría de conjuntos condicionales son casos particulares del análisis con valores Booleanos y usar las herramientas de una bien conocida y profunda teoría matemática.

    2. Buscar aplicaciones a problemas de matemáticas financieras.

    Resultados y metodología: En el Capítulo 1 se estudia la estructura algebraica y topológica de L0-módulos a través de una miscelánea de resultados y ejemplos límite de L0-módulos.

    En el Capítulo 2 se demuestra que el análisis L0-convexo es una interpretación del análisis convexo clásico en un modelo con valores Booleanos adecuado. Esto permite transcribir teoremas clásicos del análisis convexo en nuevos teoremas de análisis L0-convexo, los cuales son ciertos sin la necesidad de una demostración. Por ejemplo, se dan versiones del Teorema de Punto Fijo de Brouwer, del Teorema de Eberlein-Smulian, del Teorema de Krein-Smulian, del Teorema de Mazur y del Teorema de compacidad de James así como una versión perturbada de este último. Se prueba que los resultados principales del análisis L0-convexo.

    En el Capítulo 3 se demuestra que la teoría de conjuntos condicionales es una interpretación de la teoría de conjuntos clásica en un modelo Booleano adecuado. Como aplicación, se dan versiones condicionales de teoremas clásicos de análisis funcional, los cuales son ciertas sin la necesidad de una demostración.

    En el Capítulo 4 se muestra que la teoría de dualidad de medidas de riesgo condicionales es una interpretación de la teoría de medidas de riesgo convencionales en un modelo con valores Booleanos adecuado. Como consecuencia, se obtiene que cada teorema de representación dual de medidas de riesgo convencionales puede ser interpretado como un teorema de representación dual de medidas de riesgo condicionales. Como aplicación, se establece un teorema general de representación robusta de medidas de riesgo condicionales. Se estudia la forma de este teorema en el caso de módulos de tipo Lp, módulos de tipo Orlicz y módulos de tipo corazón de Orlicz. En el Capítulo 5, aplicando análisis L0-convexo, se estudia optimización de control estocástico con dependencia de parámetros en tiempo finito. Se demuestran dos teoremas de existencia de soluciones óptimas: uno bajo condiciones de compacidad en los controles y otro sin restricciones en los controles pero con condiciones más fuertes en los generadores progresivos y regresivos. Estos resultados se aplican a problemas concretos de maximización y reparto de utilidad.

    Usando las técnicas de la tesis, se da una nueva demostración del teorema de Dalang-Morton-Willinger.

    Conclusiones: Se demuestra que tanto el análisis L0-convexo como la teoría de conjuntos condicionales son casos particulares del análisis con valores Booleanos.

    En particular, el principio de transferencia permite establecer una analogía del análisis clásico en L0-módulos.

    Asimismo, se concluye que estas herramientas pueden ser aplicadas satisfactoriamente al riesgo condicional y el control estocástico.

  • English

    Boolean-valued analysis is a branch of functional analysis, which consists in studying the properties of mathematical objects by means of comparison between its representations in different set-theoretic models whose construction uses distinct Boolean algebras. Boolean-valued analysis stems from the formalization given by Scott, R. Solovay, and P. Vopenka of the method of forcing that Paul Cohen created to prove the independence of the continunm hypothesis.

    Duality theory of risk measures is a branch of mathematical finance. In particular, duality theory of conditional risk measures studies the case in which a dynamic flow of information throughout the time is taken into account. The difficulties of this problem have motivated new developments in functional analysis such as L0-convex analysis and conditional set theory. This work aims: 3. To show that both L0-convex analysis and conditional set theory are particular instances of Boolean-valued analysis and use the tools of a well-known and deep mathematical theory.

    4. To look for applications to problems of mathematical finance.

    Results and methodology: In Chapter 1, by means of a miscellaneous of results and boundary examples of L0-modules, it is provided a study of algebraic and topological properties of L0-modules.

    In Chapter 2, it is proven that L0-convex analysis is a Boolean-valued interpretation of classical convex analysis. This allows us to transcribe classical theorem of convex analysis as new theorems of L0-convex analysis, which hold without the necessity of a proof. For instance, we provide versions of the Brouwer's fixed point theorem, of the Eberlein-Smulian theorem, of the Krein-Smulian theorem, of the Mazur theorem and of the James' compactness theorem as well as a perturbed version of the latter.

    In Chapter 3, it is shown that conditional set theory is a Boolean-valued interpretation of classical set theory. As instances of application, we provide conditional versions of classical theorems of functional analysis, which hold without the necessity of a proof.

    In Chapter 4, it is shown that duality theory of conditional risk measures is a Boolean-valued interpretation of duality theory of conventional risk measures. As a consequence, it is obtained that each theorem on dual representation of conventional risk measures can be interpreted as a new theorem on dual representation of conditional risk measures. As application, it is established a general robust representation theorem of conditional risk measures. It is studied the form of this theorem in the cases of Lp type modules, Orlicz type modules, and Orlicz-heart type modules. In Chapter 5, by applying L0-convex analysis, parameter-dependent stochastic optimization in finite time is studied. Two theorems on the existence of optimal solutions of the stochastic control problem are proven: one under compactness conditions on the controls and the other without constraints on the controls but under stronger assumptions on the forward and backward generators. These results are then applied to specific problems of utility maximization and sharing.

    By means of these techniques, a new proof of Dalang-Morton-Willinger theorem is provided.

    Conclusions: It is shown that both L0-convex anaysis and conditional set theory are particular instances of Boolean-valued analysis.

    In particular, the transfer principle allows us to establish a module analogue of classical convex analysis.

    Furthermore, we conclude that these tools can satisfactorily be applied to conditional risk and stochastic control.