Resumen de Operadores de la lógica difusa en estructuras algebraicas
En la tesis estudiamos la acción de distintas funciones de agregación sobre determinadas estructuras algebraicas. Las estructuras que consideramos son las siguientes: retículos finitos, relaciones difusas y subgrupos difusos.
Inicialmente, nos centramos en las t-normas sobre retículos finitos. Contabilizamos el número de ellas sobre determinadas familias de retículo finitos que recuerdan a la suma horizontal de cadenas discretas. Dedicamos especial atención a dos clases importantes de t-normas, las arquimedianas y las divisibles.
Dentro de las relaciones difusas, nos centramos en dos clases que cumplen la propiedad T-transitiva: los T-preórdenes y las T-indistinguibilidades. De los T-preórdenes estudiamos su conexión con los operadores de consecuencias difusos a través de funciones de agregación, en particular, de semicópulas. Si un Tpreórden cumple la propiedad simétrica, entonces es una T-indistinguibilidad.
Analizamos la agregación de T-indistinguibilidades en profundidad. En particular, cuando la t-norma es la del mínimo, caracterizamos aquellas min-indistinguibilidades que preservan la estructura a través de cualquier función de agregación. Así mismo estudiamos la conexión entre T-indistinguibilidades y T-subgrupos.
Estudiamos también la agregación de T-subgrupos. Aportamos condiciones necesarias para garantizar que la agregación de T-subgrupos preserve el carácter de ser T-subgrupo y caracterizamos cuando la agregación de minsubgrupos es de nuevo min-subgrupo. Revelamos que las funciones estrictamente monótonas juegan un papel clave en la agregación de min-subgrupos y min-indistinguibilidades.
En cuanto a la clasificación de min-subgrupos presentamos cuatro relaciones de equivalencia y las relacionamos entre sí. Además, estudiamos algunas propiedades que se preservan para min-subgrupos relacionados a través del proceso de agregación. Fijado un grupo y dadas dos t-normas T y T, determinamos los casos en los que el conjunto de T-subgrupos está contenido en el de T-subgrupos. La respuesta depende de las t-normas y del retículo de subgrupos inherente al grupo.
