Resumen de Problemas de frontera para ecuaciones dinámicas
Numerosos problemas que han surgido en diversas ciencias como la física, biología o economía han encontrado en las ecuaciones diferenciales y en las ecuaciones en diferencias modelos adecuados para su estudio y resolución. Estas ecuaciones han demostrado su eficacia a la hora de expresar matemáticamente procesos evolutivos continuos o discretos, respectivamente. Un análisis más profundo de algunos fenómenos muestra que en muchos casos estas ecuaciones no son suficientes para encontrar un modelo que los represente y los analice de una forma adecuada. Es así como las ecuaciones dinámicas surgen de la necesidad de encontrar modelos que se adapten mejor a la realidad. Con ellas se estudia la evolución de una gran cantidad de procesos definidos en conjuntos cerrados arbitrarios, resultando ser un adecuado modelo para diferentes problemas económicos y poblacionales. Pensar, por ejemplo, en la evolución de una especie en la que sus individuos viven en un determinado período de tiempo, por ejemplo en una estación, y justamente antes de su muerte ponen sus huevos y los nuevos individuos nacen al inicio de un nuevo período posterior.
Los objetivos de la teoría de ecuaciones dinámicas en conjuntos cerrados de números reales, cuyo origen se encuentra en la tesis doctoral de Stefan Hilger defendida en 1988, son estudiar bajo una misma formulación ecuaciones diferenciales y en diferencias además de estudiar ecuaciones en un conjunto cerrado y no vacío arbitrario de números reales con partes discretas y continuas como puede ser una sucesión y su límite o un conjunto de Cantor, entre otros.
El trabajo llevado a cabo en esta memoria se puede dividir en dos partes claramente diferenciadas, la primera de ellas, referida al análisis en conjuntos cerrados de números reales arbitrarios, donde se recogen y desarrollan las herramientas necesarias para el estudio, en la segunda, de la existencia de solución, en el sentido clásico, en el sentido de Carathéodory o en el sentido de las distribuciones de ecuaciones dinámicas de primer y segundo orden.
Respecto a la primera parte, recogida en el capítulo 1 y dedicada al análisis en conjuntos cerrados arbitrarios, nos hemos centrado en la teoría de la $\Delta-$medida y $\Delta-$integración de Lebesgue dado que el grado de desarrollo de éstas constituye una pieza clave en el estudio de la existencia de soluciones débiles de ecuaciones dinámicas. Los primeros resultados que hemos obtenido relacionados con este tema se recogen en la sección 1.3, donde se obtiene una nueva fórmula para el cálculo de la $\Delta-$integral de Lebesgue como suma de una integral de Lebesgue más una serie numérica en la que se pone de manifiesto la división del cálculo en sus partes discreta y real; dicha igualdad ha sido demostrada caracterizando previamente la $\Delta-$medida en términos de medidas conocidas. La fórmula anterior ha permitido no sólo calcular explícitamente el valor de las $\Delta-$primitivas de funciones elementales en conjuntos cerrados arbitrarios, lo cual hasta su conocimiento había sido imposible, sino también profundizar en aspectos importantes de la teoría de la $\Delta-$integración como son las diversas caracterizaciones de las funciones absolutamente continuas probadas en la sección 1.4, conocidas cuando el conjunto está formado solamente por puntos densos pero no para un conjunto cerrado arbitrario. Los resultados recogidos en las secciones 1.3 y 1.4 han permitido profundizar en otro de los aspectos fundamentales para la demostración de existencia de soluciones débiles de problemas de frontera como son los espacios de Sobolev. A pesar de la gran importancia de estos espacios y de la información detallada de que se dispone cuando éstos están definidos en un dominio del espacio euclídeo dotado de la medida de Lebesgue, el trabajo que realizamos en la sección 1.5 es el primero en el que se definen y estudian sus propiedades fundamentales cuando éstos están definidos en un conjunto cerrado y acotado arbitrario dotado de la $\Delta-$medida de Lebesgue; asimismo, hemos demostrado una equi\-valencia entre éstos y los usuales espacios de Sobolev definidos en un intervalo de la recta real. Además, este trabajo ha permitido probar en la sección 1.6 una desigualdad tipo Wirtinger que relaciona la norma en $ L^2_\Delta$ de la potencia sigma de las funciones absolutamente continuas con $\Delta-$derivada en $ L^2_\Delta$ con la norma en $ L^2_\Delta$ de su $\Delta-$derivada, como consecuencia de la cual se deducen de forma inmediata algunas de las conocidas desigualdades tipo Wirtinger en los casos real y discreto.
Dedicamos los capítulos 2 y 3 a la segunda parte de nuestro trabajo, esto es, el estudio de ecuaciones dinámicas.
En el capítulo 2 se trata el problema de existencia de solución en el sentido débil de diversos problemas de ecuaciones dinámicas de primer orden.
En la sección 2.3 se demuestra la existencia de soluciones extremales de un problema con condiciones iniciales de primer orden en el que la función que define la parte no lineal de la ecuación es una función $L_\Delta^1-$Carathéodory, como consecuencia de dicho resultado, se obtiene el análogo permitiendo discontinuidad en la parte no lineal de la ecuación;
el método empleado es una adaptación del clásico método de Peano, esto es, la aproximación de las soluciones extremales mediante subsoluciones y sobresoluciones de dicho problema; como característica a destacar de este trabajo es que los resultados obtenidos son válidos en el caso discreto tanto para el problema implícito como para el explícito. La técnica de las sub y sobresoluciones ha sido empleada en diferentes aplicaciones de una gran cantidad de problemas de frontera tanto discretos como continuos. Esta teoría permite, bajo ciertas condiciones, dar pruebas constructivas de existencia de solución definiendo sucesiones monótonas que convergen a las soluciones extremales del problema considerado en un sector comprendido entre una subsolución y una sobresolución.
El objetivo de la sección 2.4 es el de demostrar la existencia de solución de un problema de frontera de primer orden con condiciones de frontera no lineales en el que la función que determina la parte no lineal de la ecuación es una función $L_\Delta^1-$Carathéodory y asumiendo la existencia de un par de sub y sobresoluciones de dicho problema. Las hipótesis que verifica la función que define las condiciones en la frontera permiten que el problema estudiado cubra tanto las condiciones periódicas como las antiperiódicas; además, la dependencia funcional en la segunda variable posibilita otros tipos de condiciones de frontera no lineales diferentes. Asimismo, se ha demostrado la unicidad de solución de un problema de frontera que generaliza el antiperiódico y se ha desarrollado un método monótono para aproximarla.
La sección 2.5 está dedicada al estudio de existencia de soluciones extremales en presencia de subsoluciones y sobresoluciones de diversas ecuaciones dinámicas funcionales con condiciones de frontera funcionales en las que la parte no lineal de la ecuación es una función $L_\Delta^1-$Carathéodory y se proporcionan diversos métodos monótonos para aproximarlas.
La sección 2.6 se dedica al estudio de la existencia, unicidad y aproximación de soluciones de un problema de frontera de primer orden en un intervalo de un subconjunto cerrado de $\R$, que toma sus valores en otro subconjunto cerrado de $\R$ a través de su problema recíproco. Los resultados de existencia y aproximación de soluciones extremales para ecuaciones dinámicas con condiciones iniciales probados en secciones anteriores son la clave para obtener los resultados considerando ecuaciones dinámicas cuya parte no lineal es no negativa y verifican un cierto tipo de condiciones de Carathéodory inversas y discontinuidad.
En la sección 2.7 probamos la existencia y aproximación de soluciones extremales de un sistema con infinitas ecuaciones dinámicas funcionales con condiciones de frontera funcionales en presencia de subsoluciones y sobresoluciones. Los resultados obtenidos en secciones anteriores sobre la existencia de soluciones extremales para la ecuación dinámica escalar con condición inicial y el Teorema de Tarski son la base para la obtención de los resultados de esta sección.
Dedicamos el capítulo 3 al estudio de diversos problemas de ecuaciones dinámicas de segundo orden. Hemos utilizado un enfoque variacional, así como la teoría de puntos críticos, para establecer la existencia de múltiples soluciones positivas de diversas ecuaciones dinámicas, tanto regulares como singulares, de segundo orden con condiciones de Dirichlet homogéneas en la frontera. En las secciones 3.2 y 3.3 se demuestra la existencia de soluciones en el sentido débil de ciertos problemas mientras que el objetivo de la sección 3.4 es probar la existencia de soluciones en el sentido de las distribuciones de otro problema. La desigualdad de Wirtinger será la clave para garantizar que el operador usado en la formulación variacional de los distintos problemas considerados es acotado superiormente y coercivo, y de ahí poder asegurar, por la teoría de puntos críticos, la existencia de un mínimo que será la solución débil del problema.
Los resultados obtenidos son muy novedosos en la literatura, tanto por la técnica empleada para demostrarlos como por la amplia clase de funciones que se pueden elegir en la parte no lineal de la ecuación.
