Resumen de Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos
En esta memoria se parte de un problema docente: la dificultad que encuentran los profesores de Educación Secundaria para conseguir que sus alumnos den sentido a los números negativos y los utilicen correctamente en los cálculos y razonamientos matemáticos.
La revisión bibliográfica realizada en el capítulo I pone de manifiesto que la mayor parte de las aportaciones al tema van en la línea de determinar y categorizar los errores y dificultades de los alumnos en el aprendizaje de los números negativos y de presentar nuevas propuestas de enseñanza que ayuden a evitarlos. Estas propuestas se centran en la búsqueda de un buen modelo concreto introductorio de los números negativos, al considerar que el modelo cumple una doble función: por una parte, permite dar sentido a los números negativos y sus reglas de cálculo y, por otra, sirve de apoyo a la reconstrucción de dichas reglas en caso de olvido.
Pero también se constata la existencia de un tercer grupo de trabajos de corte muy distinto. En ellos se pone de manifiesto la larga historia de los números negativos; su difícil emergencia a lo largo de quince siglos; la posible existencia de concepciones históricas que han obstaculizado la aceptación del número negativo por parte de la comunidad matemática; y la posible pervivencia de dichos obstáculos epistemológicos en la enseñanza actual.
La tesis intenta afrontar el problema docente de la enseñanza de los números negativos, transformándolo en un problema didáctico susceptible de ser investigado que tenga en cuenta la posible existencia de obstáculos epistemológicos y su influencia en los procesos de enseñanza. Para ello, partiendo del marco teórico de la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Guy Brousseau, se plantea el problema didáctico de diseñar una génesis escolar del número negativo que evite la aparición de obstáculos didácticos, que afronte la superación de los obstáculos epistemológicos, en el supuesto de que existan, y que permita al alumno construir una concepción inicial del número negativo que evolucione con facilidad hacia concepciones cada vez más cercanas al concepto matemático.
Para dar respuesta a este objetivo de investigación:
- En el capítulo II se precisa la naturaleza de los obstáculos epistemológicos en la historia de los números negativos, de acuerdo con la definición dada en la TSD. Esto ha puesto de manifiesto, no sólo el papel obstaculizador que ha jugado la consideración del número como una abstracción del mundo sensible ligada a las situaciones de medida y al comportamiento de las cantidades de magnitud, sino también el papel obstaculizador del álgebra entendida como una aritmética generalizada, es decir, como un dominio cuyos objetivos y medios de validación son los aritméticos.
- En el capítulo III se analiza el papel que juega la transposición didáctica del número negativo en el tratamiento didáctico de los obstáculos epistemológicos y en la génesis de otros posibles obstáculos didácticos. El análisis permite deducir que la génesis escolar del número entero basada en modelos concretos y realizada en el ámbito aritmético, además de no contribuir a la superación de los obstáculos epistemológicos, los refuerza, lo que constituye un obstáculo didáctico añadido al obstáculo epistemológico.
- En el capítulo IV se diseña y experimenta una génesis escolar del número negativo que responde al problema didáctico planteado. Para ello, se propone una introducción de los números enteros en el álgebra entendida como instrumento de modelización algebraico-funcional, siguiendo las aportaciones de Chevallard, Bosch, Gascón y Ruiz-Munzón. A partir de ahí, se definen los criterios epistemológicos que sustentan el diseño, se construye la situación fundamental, se indican los objetos algebraicos que emergen, las técnicas que se desarrollan y las tareas que contribuyen a la ejercitación de las técnicas y a la institucionalización del saber de la clase.
