Resumen de Teoría de homotopía de N-cat-grupoides
José Antonio Martín Núñez
LA MEMORIA SE ENGLOBA DENTRO DE LA DINAMICA SUSCITADA POR J,H.C. WHITEHEAD EN SU MEMORIA "A LA POURSUITE DES CHAMPS" DONDE PLANTEA LA POSIBILIDAD DE DESCRIBIR TIPOS DE HOMOTOPIA N-TRUNCADOS (CW- COMPLEJO, CONJUNTOS SIMPLICIALES...), Y DADO UN ESPACIO X CONSTRUIR UN N-GRUPOIDE QUE GENERALICE EL DE POINCARE, PARA N=1, ASI COMO UNA REALIZACION GEOMETRICA DE ESTOS -GRUPOIDES, ESTABLECE IDEAS PARA DIFERENTES POSIBILIDADES DE GENERALIZAR EL HECHO BIEN CONOCIDO DEBIDO A GABRIEL-ZISMAN, DE QUE LOS CW-COMPLEJOS X CON GRUPOS DE HOMOTOPIA NULA A PARTIR DE DIMENSION 2, PUEDEN SER DESCRITAS, SALVO HOMOTOPIA, POR GRUPOIDES.
UN OBJETIVO BASICO DE LA MEMORIA ES EL DE PROPONER UN MODELO, AL QUE LLAMAREMOS N-CAT-GRUPOIDE, PARA UNA TAL GENERALIZACION A TODO NUMERO NATURAL. ESTOS ESTAN INSPIRADOS EN LAS APORTACIONES REALIZADAS POR LODAY Y POR / MOERDIJCK Y SVENSSON, EN RELACION CON LAS APLICACIONES A LA TEORIA DE HOMOTOPIA DE CW-COMPLEJOS. LA MEMORIA CONSTA DE UN CAPITULO 0 DEDICADO AL / ESTUDIO DE LA TEORIA DE HOMOTOPIA DE GRUPOIDES DONDE SE VE QUE TIENE ESTRUCTURA DE MODELO CERRADO EN EL SENTIDO DE QUILLEN Y SE COMPARA CON LA TEORIA DE HOMOTOPIA DE CONJUNTOS SIMPLICIALES. UN CAPITULO 1 DONDE SE DEFINEN LOS N-CAT-GRUPOIDES, SE LE ASOCIA A CADA CW- COMPLEJO SU N-CAT-GRUPOIDE DE HOMOTOPIA QUE CLASIFICA SU (N+1)-TIPO:
SE DEFINE EL CONCEPTO DE / HOMOTOPIA DE N-CAT-GRUPOIDE Y SE VE QUE ESTA CATEGORIA TIENE, ESTRUCTURA DE MODELO CERRADA EN EL SENTIDO DE QUILLEN.
TAMBIEN SE ESTUDIAN LA RELACIONES ENTRE LA CATEGORIAS DE HOMOTOPIA DE N-CAT-GRUPOIDES Y LA DE CONJUNTOS SIMPLICIALES. SE CONSTRUYE UNA REALIZACION GEOMETRICA DE ESTOS N-CAT- GRUPOIDES, QUE SERA LA CORRESPONDIENTE A SU NERVIO Y TENDREMOS UN RESULTADO DONDE EXISTE UNA BIYECCION ENTRE CLASES DE HOMOTOPIA ENTRE UN CW- COMPLEJO Y LA REALIZACION GEOMETRICA SE UN N-CAT- GRUPOIDE Y, EL N-CAT-GRUPOIDE DE HOMOTOPIA DEL CW-COMPLEJO Y EL N-CAT- GRUPOIDE. TAMBIEN SE DA UNA INTERPRETACION DE LOS GRUPOS
