Resumen de Mathematical analysis of some diffusion problems associated to the modeling of surfactant compounds at the air-water interface
- español
El comportamiento de los compuestos tensioactivos en la interfase aire-agua juega un papel fundamental en diversos procesos biológicos, bioquímicos e industriales. A pesar de que en la literatura química existen numerosas publicaciones que abordan el estudio de dicho comportamiento, desde el punto de vista matemático no existe, hasta el momento y bajo nuestro conocimiento, ningún trabajo que trate el análisis matemático del problema. Por ello, en esta tesis nos centramos en el análisis matemático de algunos modelos que describen el proceso de difusión y de adsorción/desorción de los tensioactivos en una disolución acuosa. Este mecanismo es modelado a través de la ecuación de difusión en una dimensión espacial junto con las condiciones de contorno e iniciales adecuadas. La condición de contorno en el extremo izquierdo del intervalo espacial es una condición de contorno de tipo dinámico, lo cual determina la novedad del estudio. Para cada uno de los modelos considerados se demuestra la existencia y unicidad de solución débil. Además, se obtienen aproximaciones totalmente discretizadas de los problemas débiles utilizando el método de elementos finitos para la discretización espacial y una combinación híbrida de los esquemas de Euler explícito e implícito para aproximar la derivada temporal. Para los problemas discretos, bajo ciertas hipótesis de regularidad adicional, se prueban estimaciones del error a priori y se demuestra la convergencia lineal de los algoritmos. Por último, se ilustra la precisión y el comportamiento de cada uno de los modelos con un conjunto de simulaciones numéricas.
- English
Surfactants are chemical compounds with a particular structure, that is the responsible of their behavior in a water solution. When a new surface is formed in a surfactant solution, surfactant molecules tend to migrate from the bulk of the solution to the surface, consequently varying its surface tension. The dynamic surface tension is a very important property since it plays a major role in several biochemical, biological and industrial processes. All the huge applications of the dynamic surface tension make it a subject of study for a long period of time. There are several publications in the chemical literature dealing with the numerical solutions of the models that describe the surfactant behavior. However, none of them deal with their mathematical analysis. In this thesis, we introduce the mathematical treatment of those models, that consist of the diffusion equation coupled with an adsorption model.
