Resumen de Diversidad de ideas construidas por estudiantes sobre los números reales, los números irracionales, el orden y la densidad

Virginia Montoro

• español

  Presentamos el análisis de respuestas, de estudiantes de secundaria y de universidad a cuatro tareas que indagan cómo comprenden qué es un número en general y en particular un número irracional, el orden, la densidad y el supremo de un intervalo, en los números reales. Encontramos un gradiente de profundidad en sus ideas desde (i) una visión de los enteros como modelo de número, ajenidad o inseguridad frente a estos aspectos de R, principalmente en estudiantes con menor estudio de matemática.  En una zona intermedia la (ii) concepción de los reales identificados con los decimales finitos y de una discretitud explícita, principalmente en estudiantes de secundaria y (iii) una visión en la cual se identifican a los reales con los racionales y como infinitos-potencialmente densos; presente principalmente en ingresantes a las carreras científicas. Por último y principalmente estudiantes avanzados de Matemática, que (iv) comprenden el orden, la densidad y propiedad del supremo en los reales. Mostramos que para promover que los/las estudiantes se apropien del número real, la enseñanza debe prever para los últimos años de secundaria y primeros de universidad trabajar sobre estas complejas nociones, de modo de facilitar el pasaje de una matemática escolar a una matemática avanzada.

• English

  We present the analysis of the responses of high school and university students to four tasks that investigate how they understand what a number is in general and an irrational number, the order, the density and the supreme of an interval, in real numbers. We find a depth gradient in these ideas from (i) a view of the integers as a model of number, distancing, or insecurity in front of these aspects of R, mainly in students with less studies in mathematics. In an intermediate zone, the (ii) conception of real numbers is identified with finite decimals and an explicit discretely, mainly in secondary and high school students (iii) a view in which the real numbers are identified with the rational numbers and as infinite potentially dense. Present mainly in first-year students of scientific careers. In the other extreme (iv) mainly advanced students of Mathematics, who understand the order, density, and property of the supreme in the real numbers. We show that to encourage students to appropriate the real number, teachers must anticipate in the last years of high school and the first years of university to work on these complex notions, to facilitate the transition from school mathematics to advanced mathematics.