Resumen de Álgebras de Boole y la dualidad de Stone

Clara María Corbalán Mirete

• español

  Este artículo tiene como objetivo introducir los conceptos de álgebra de Boole y espacio de Stone, así como presentar la dualidad existente entre ambos. Para ello, comenzamos presentando este tipo de álgebras, algunas de sus propiedades y sus elementos y subconjuntos más destacables: átomos, ideales, filtros y ultrafiltros. Gracias a ellos seremos capaces de demostrar el teorema de Stone, el cual cuenta con dos versiones y establece que toda álgebra de Boole $\mathfrak{B}$ es isomorfa al álgebra de los clopen sobre el espacio de los ultrafiltros de $\mathfrak{B}$. Además de esto, y ya para finalizar, probaremos que todo espacio de Stone $X$ es homeomorfo al espacio de los ultrafiltros del álgebra de los clopen sobre $X$.

• English

  The purpose of this paper is to introduce the concepts of Boolean algebra and Stone space, and to present the duality between them. In order to achieve this, we begin by presenting some of the Boolean algebra’s properties and its most fundamental elements and subsets: atoms, ideals, filters and ultrafilters. Then, we will be able to prove Stone’s theorem, which has two versions and states that every Boolean algebra $\mathfrak{B}$ is isomorphic to the clopen algebra on the space of ultrafilters of $\mathfrak{B}$. Finally, we will prove that every Stone space $X$ is homeomorphic to the space of ultrafilters of the clopen algebra on $X$.