Álgebras de Boole y la dualidad de Stone

Clara María Corbalán Mirete

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Álgebras de Boole y la dualidad de Stone

Corbalán Mirete, Clara María ^[1]
1. [1] Universidad de Murcia
  
  Universidad de Murcia
  
  Murcia, España
Localización: TEMat: Divulgación de trabajos de estudiantes de matemáticas, ISSN-e 2530-9633, Nº. 3, 2019, págs. 75-86
Idioma: español
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Resumen
- español
  Este artículo tiene como objetivo introducir los conceptos de álgebra de Boole y espacio de Stone, así como presentar la dualidad existente entre ambos. Para ello, comenzamos presentando este tipo de álgebras, algunas de sus propiedades y sus elementos y subconjuntos más destacables: átomos, ideales, filtros y ultrafiltros. Gracias a ellos seremos capaces de demostrar el teorema de Stone, el cual cuenta con dos versiones y establece que toda álgebra de Boole $\mathfrak{B}$ es isomorfa al álgebra de los clopen sobre el espacio de los ultrafiltros de $\mathfrak{B}$. Además de esto, y ya para finalizar, probaremos que todo espacio de Stone $X$ es homeomorfo al espacio de los ultrafiltros del álgebra de los clopen sobre $X$.
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  The purpose of this paper is to introduce the concepts of Boolean algebra and Stone space, and to present the duality between them. In order to achieve this, we begin by presenting some of the Boolean algebra’s properties and its most fundamental elements and subsets: atoms, ideals, filters and ultrafilters. Then, we will be able to prove Stone’s theorem, which has two versions and states that every Boolean algebra $\mathfrak{B}$ is isomorphic to the clopen algebra on the space of ultrafilters of $\mathfrak{B}$. Finally, we will prove that every Stone space $X$ is homeomorphic to the space of ultrafilters of the clopen algebra on $X$.
Referencias bibliográficas
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- BOOLE, George.An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematicaltheories of logic and probabilities. Dover Publications,...
- CORBALÁN MIRETE, Clara María.Sumas torcidas de espacios de Banach. Trabajo de Fin de Máster.Universidad de Murcia, 2018.URL:https://www.um.es/documents/118351/7120416/Clara+Corbal%C3%A1n+Mirete+-+TFM.pdf/7150b8f5-7023-4679-9a9c-2fe41f74157a.
- JANÉ, Ignacio.Álgebras de Boole y lógica. Vol. 5. Materials Docents. Edicions Universitat Barcelona,1989.ISBN: 978-84-7875-040-5.
- KOPPELBERG, Sabine.Handbook of Boolean algebras. Vol. 1. Edited by J. Donald Monk and RobertBonnet. North-Holland Publishing Co., Amsterdam,...