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Las ecuaciones de Reynolds y la relación de clausura

  • Mercado Escalante, José Roberto [1]
    1. [1] Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, (IMTA)
  • Localización: Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, ISSN 2215-3373, ISSN-e 2215-3373, Vol. 16, Nº. 1, 2009, págs. 105-126
  • Idioma: español
  • DOI: 10.15517/rmta.v16i1.1421
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  • Resumen
    • español

      Nos planteamos el problema de obtener la relaci´on de clausura para las ecuacionesde Reynolds. Y, como objetivo secundario, obtener expresiones anal´?ticas paralos esfuerzos de Reynolds; mostrando su salto de discontinuidad, como expresi´on dela ruptura de la simetr´?a, la que interpretamos como una salto en el ´?ndice de ocupaci´on del espacio. Nuestro resultado principal consiste en que el esfuerzo de Reynoldsse expresa como la derivada fraccional de la velocidad media, siendo el orden de laderivada el ´?ndice de ocupaci´on espacial; lo que transforma la ecuaci´on de Reynoldsen una ecuaci´on integro-diferencial. Formulamos un modelo de Prandtl fraccional, endonde la ra´?z cuadrada del esfuerzo de Reynolds depende de la derivada fraccional dela velocidad media; y se recupera el modelo de Prandtl cuando la derivada fraccionaltiende al orden entero de valor unitario. Se presenta una transici´on regularizante entrela velocidad de la subcapa inercial y la viscosa; y se obtiene la constante de Nikuradsecomo el equivalente hidr´aulico de la constante de Euler, que mide la raz´on de las dosescalas. Analizamos las ecuaciones de Reynolds para un flujo entre dos planos paralelos,o para un tubo, a trav´es de una ecuaci´on de Fokker-Planck estacionaria. Seobtiene el perfil de velocidades tanto para la subcapa viscosa; como para la subcapainercial. El fluido presenta una transici´on de segundo orden que se manifiesta, a nivelmacro, como un salto de discontinuidad del esfuerzo de Reynolds, en tanto par´ametrode orden, con ruptura de la simetr´?a; y a nivel micro, como un salto en el ´?ndice deocupaci´on del espacio.Palabras clave: Ecuaciones y esfuerzos de Reynolds, subcapas viscosa e inercial, modelode Prandtl, derivada fraccional, problema inverso, ecuaci´on de Camassa-Holm, transicionesde segundo orden, par´ametro de orden.

    • English

      We posed the problem to obtain the closure relation for the Reynolds equations.And like secondary target, to obtain analytical expressions for the Reynolds stress.Showing its jump of discontinuity like expression of the rupture of the symmetry; theone is interpret by us as a jump in the index of occupation of the space. Our mainresult consists of which the Reynolds stress is expressed like the fractional derived onefrom the average velocity.Being the order of the derived one index of space occupation; what the Reynoldsequations transform into differential integral equations. We formulate a model of fractionalPrandtl where the squared root of the Reynolds stress depends of the fractionalderived one from the average velocity and the model of Prandtl is recovered when thefractional derived one tends to the whole of value. A regularizated transition appearsbetween velocity of the inertial sub-layer and the viscous and the constant of Nikuradseis obtained like the hydraulic equivalent of the Euler’s constant, who measuresthe reason of the two scales. We analyze the Reynolds equations for a flow betweentwo planes parallels, through an equation of stationary Fokker-Planck. The velocityprofile for the viscous sub-layer is obtained as much; like for the inertial sub-layer.The fluid displays a transition of second order that is pronounced, at level macro, asa jump of discontinuity of the Reynolds stress in as much parameter of order, withrupture of the symmetry; and at micro level, as a jump in the index of occupation ofthe space.Keywords: Reynolds equations and stress, boundary layer, viscous layer, Prandtl’smodel, fractional derivatives, inverse problem, Camassa-Holm equation, second-order transition,order parameter.

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