Some Adjunctions Associated with Extensions and Restrictions of Ideals in the Context of Commutative Rings

• Lorenzo Acosta ^[1] ; Marcela Rubio ^[1]
  1. [1] Universidad Nacional de Colombia

     Universidad Nacional de Colombia

     Colombia

     
• Localización: Boletín de matemáticas, ISSN 0120-0380, ISSN-e 2357-6529, Vol. 20, Nº. 2, 2013, págs. 81-95
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • Algunas adjunciones asociadas con extensiones y restricciones de ideales en el contexto de anillos conmutativos
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• Resumen
  • español

    Dados un anillo conmutativo R y S uno de sus ideales, la función I --> (I : S), que transforma ideales de R en ideales de R es adjunta a derecha de la función I --> IS. Se definen los ideales S−maximales de R como aquellos ideales J de R tales que (J : S) = J. Si el anillo S es seudo-regular, entoncesel conjunto de ideales S−maximales de R es un retículo completo, isomorfo al retículo de los ideales de S. En particular, el anulador de S en R es el mínimo de los ideales S−maximales de R. La estructura de retículo de losideales S−maximales de R no depende entonces del anillo R.Por otro lado, los ideales de S se pueden extender a ideales de R y los ideales de R se pueden restringir a ideales de S. Estos dos procesos no son adjuntos entre sí, pero si se restringen a colecciones apropiadas de ideales s´ı se obtienensendas adjunciones.

  • English

    Given a commutative ring R and S one of its ideals, the function I --> (I : S) that transforms ideals of R into ideals of R, is right adjoint of the function I --> IS. We define the S−maximal ideals of R as those ideals J of R such that (J : S) = J. If the ring S is pseudo-regular, then the set of S−maximal ideals of R is a complete lattice, isomorphic to the lattice of the ideals of S. In particular, the annihilator of S in R is the minimum of the S−maximal ideals of R. So the lattice structure of S−maximal ideals of R does not depend on the ring R.On the other hand, the ideals of S can be extended to ideals of R and the ideals of R can be restricted to ideals of S. These two processes are not adjoint to each other, but if we restrict to appropriated collections of ideals we can obtain adjunctions.