Complétude et continuité a travers 23 siècles: Contributions a une recherche en didactique des mathématiques

• Autores: Analía Bergé, Carmen Sessa
• Localización: Recherches en didactique des mathématiques, ISSN 0246-9367, Vol. 38, Nº 2, 2018, págs. 157-205
• Idioma: francés
• Títulos paralelos:
  • Completeness and continuity revised throughout 23 centuries: Contributions to a didactic research
  • Completitud y continuidad revisadas través de 23 siglos: Aportes a una investigación didáctica
• Texto completo no disponible (Saber más ...)
• Resumen
  • español

    Presentamos en este artículo un análisis histórico-epistemológico de la noción de completitud del conjunto de números reales. En nuestro análisis ligamos problemas y preguntas de determinados periodos históricos con el estado de conocimiento y las herramientas disponibles en esos momentos y con las diferentes conceptualizaciones producidas. La relación entre números y magnitudes, así como la evolución de las nociones de continuidad de la recta y completitud del sistema numérico son analizadas en el artículo a partir de datos históricos que son presentados, en muchos casos, con Soporte en fuentes históricas primarias. Las preguntas que orientan el trabajo provienen de una reflexión didáctica., y el análisis que se realiza nos permite enunciar conclusiones que podrían ser de utilidad para la enseñanza. Este estudio se inscribe en una investigación didáctica acerca de la noción de conjunto de números reales.

  • English

    We present in this paper a historico-epistemological analysis regarding the property of completeness of the set of real numbers. In our analysis, we connect problems and questions posed at particular moments in the history of mathematics, the knowledge and mathematical tools then available, and the resulting conceptualizations. The relationship between numbers and magnitudes, as well as the evolution of the notions of continuity of the line and completeness of the real number system, are analyzed in this paper from historical data that are often presented using primary historical sources. The questions guiding this study arise from a didactic reflection. The analysis performed allows us to state conclusions which could be useful in teaching. This study is part of a Mathematics Education research project on the notion of the set of real numbers

  • français

    Nous présentons dans cet article une analyse historico­épistémologique de la notion de complétude de l’ensemble des nombres réels. Dans notre analyse, nous faisons des liens entre les problèmes et les questions mathématiques posés à quelques moments particuliers de l’histoire, les savoirs et les outils mathématiques alors disponibles et les conceptualisations produites. La relation entre nombres et grandeurs ainsi que l’évolution des notions de continuité de la droite et de complétude du système numérique sont analysées dans l’article à partir de données historiques qui sont souvent présentées en utilisant des sources historiques primaires. Une réflexion didactique est à l’origine des questions qui guident la confection de ce travail, et l’analyse que nous faisons nous permet d’énoncer des conclusions qui pourraient être utiles à l’enseignement. Cette étude s’inscrit dans une recherche didactique sur la notion d’ensemble des nombres réels.

• Referencias bibliográficas
  • APOSTOL, T. (1967). Calculus. Waltham, Massachusetts, USA: Blaisdell Publishing Company.
  • ARTIGUE, M. (1990). Épistémologie et didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10 (2/3), 241-286.
  • ARTIGUE, M. (1992). The importance and limits of epistemological work in didactics. Proceedings of the 16th Annual Meeting of the Psychology...
  • ARTIGUE, M. (1995). The Role of Epistemology in the Analysis of Teaching/Learning Relationships in Mathematics Education. Proceedings 1995...
  • BKOUCHE, R. (1997). Épistémologie, histoire et enseignement de mathématiques. For the Learning of Mathematics, 17(1), 34-42.
  • BROUSSEAU, G. (1986). Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7 (2), 33- 115.
  • CANTOR, G. (1883). Extension d’un théorème de la théorie des séries trigonométriques. Acta Mathematica, 2, 336-348.
  • CAUCHY, A-L. (1821). Cours d’analyse de l’école royal polytechnique. Paris : Chez Debure Frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du...
  • CAVEING, M. (1982). Quelques remarques sur le traitement du continu dans les Éléments d’Euclide et la Physique d’Aristote. In Guénard, F....
  • CHEVALLARD, Y. (1985). La Transposition didactique. Grenoble : La Pensée Sauvage.
  • COURANT, R. & JOHN, F. (1965). Introduction to Calculus and Analysis. New York: Interscience Publishers, John Wiley & Sons, Inc.
  • DAHAN-DALMEDICO, A & PEIFFER, J. (1986). Une histoire des mathématiques. Routes et dédales. Paris : Éditions du Seuil.
  • DEDEKIND, R. (2008). La création des nombres. Trad. Hourya Sinaceur. Paris : Collections Mathesis, Librairie philosophique J. Vrin.
  • DE GANDT, F. (1986). Le style mathématique dans les Principia de Newton. Revue d’histoire des sciences, 39(3), 195-222.
  • DE GANDT, F. (1982). Mathématiques et réalité physique au XVIIe siècle (de la vitesse de Galilée aux fluxions de Newton). In Guénard, F. et...
  • DHOMBRES, J. (1978). Nombre, mesure et continu. Épistémologie et histoire. Paris : Cedic/ Nathan.
  • DUGAC, P. (1976). Richard Dedekind et les fondements des mathématiques. Collection de Travaux de l’Académie internationale d’Histoire des...
  • EUCLIDE. (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements with introduction and commentary by Sir Thomas Heath. New York: Dover.
  • FICHANT, M. & PÉCHEUX M. (1969). Sur l’histoire des Sciences. Paris : François Maspero.
  • FOLTA, J. (1981). Life and scientific endeavour of Bernard Bolzano. In V. Jarník, J. Novák, J. Folta, J. Jarník (Eds), Bolzano and the Foundations...
  • HARDY, G.H. (1958). A course of pure mathematics (10e éd). Cambridge: University Press.
  • HILBERT, D. (1899). Über den Zahlbegriff. Jahres der Deut. Math-Verein 8, 180-184.
  • HILBERT, D. (1971). Foundations of Geometry (Second Edition), translated from the Tenth Edition, revised and enlarged by Dr Paul Bernays....
  • HILBERT, D. (1971b). Les fondements de la géométrie. Édition critique avec introduction et compléments preparée par Paul Rossier. Paris :...
  • JARNÍK, V. (1981). Bernard Bolzano and the foundations of mathematical analysis. In V. Jarník, J. Novák, J. Folta, J. Jarník (Eds), Bolzano...
  • KATZ, V. (1998). A history of mathematics, an introduction. Boston: Addison-Wesley.
  • KLINE, M. (1972). Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford: University Press.
  • RADFORD, L. (1996). The Roles of Geometry and Arithmetic in the Development of Algebra: Historical remarks from a Didactic Perspective. In...
  • RADFORD, L. (1997). On Psychology, Historical Epistemology, and the Teaching of Mathematics: Towards a Socio-Cultural History of Mathematics....
  • RADFORD, L. (2001). The Historical Origins of Algebraic Thinking. In R. Sutherland (Ed), Perspectives in School Algebra (p. 13-36). Dordrecht:...
  • ROBERT, A. (1998). Outils d’analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et à l’université. Recherches en Didactique des Mathématiques,...
  • SIERPINSKA, A. (1995). La compréhension en Mathématiques. Louvain-la-Neuve : De Boeck Université.
  • SIERPINSKA, A. & LERMAN, S. (1996). Epistemology of mathematics and of Mathematics Education. In A. Bishop et al. (Eds), International...
  • STROYAN, K.D. & Luxemburg, W.A. (1976). Introduction to the Theory of infinitesimals. New York: Academic Press.
  • THURSTON, W. (1994). On proof and progress in mathematics. American Mathematical Society, 30 (2), 161-177.
  • VAN ROOSTELAR, B. (1962). Bolzano’s Theory of Real Numbers. Archive for History of Exact Sciences, 2, 168-180.
  • WALDEGG, G. (1996). La contribución de Simon Stevin a la construcción del concepto de número. Educación Matemática, 8(2), 5-17.
  • ZARISKI, O. (1926). Essenza e significato dei numeri. Continuitá e numeri irrazionali. Rome: Casa Editrice Alberto Stock.