Geometric and topological characteristics of the nth-order lemniscate

• Rivaldo Cifuentes Monroy ^[1]
  1. [1] Universidad de Los Andes

     Universidad de Los Andes

     Colombia

     
• Localización: Lecturas matemáticas, ISSN-e 0120-1980, Vol. 46, Nº. 1, 2025, págs. 5-43
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • Características geométricas y topológicas de la lemniscata de n-ésimo orden
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• Resumen
  • español

    La lemniscata de Bernoulli abrió las puertas al desarrollo de la teoría de funciones elípticas por propiedades geométricas elementales intrínsecas a la curva.

    Esta curva se puede generalizar como: Ln = |(z − ζ1)(z − ζ2) · · · (z − ζn)| = rn, r ∈ R, ζi ∈ C. En este artículo, esta curva es estudiada con detalle para el caso cuando r = 1 y ζi es una raíz n-ésima de la unidad, a la cual llamamos la lemniscata de orden n. En la primera sección, se presenta el contexto histórico de esta curva. En la segunda sección, se presenta una descripción analítica de las rectas tangentes y la singularidad de la curva (en el plano real R2) junto con un estudio de la curvatura, la función de Schwarz y los mapas de Joukowski aplicados a nuestra curva. Finalmente, en la tercera sección, se calculan algunos invariantes topológicos y geométricos (en el plano proyectivo complejo CP2).

  • English

    The lemniscate of Bernoulli was, in a sense, what paved the way for modern Elliptic Function Theory. This curve can be generalized in the following way:

    Ln = |(z − ζ1)(z − ζ2) · · · (z − ζn)| = rn, r ∈ R, ζi ∈ C. In this paper, this generalized curve is meticulously studied when r = 1, and ζi is a nth-root of the unity, which we call the nth-order lemniscate. In the first section, the historical background of this curve is presented. In the second section, an analytic description of tangent lines and the singularity (in real plane R2) is presented together with a study of curvature, Schwarz function, and Joukowski maps applied to our curve. Finally, in the third section, calculations of some topological and geometric invariants (in the complex-projective plane CP2) are shown.