A random walk approach to Stochastic Calculus

• Autores: Salim Boukfal Lazaar
• Localización: Reports@SCM: an electronic journal of the Societat Catalana de Matemàtiques, ISSN-e 2385-4227, Vol. 9, Nº. 1, 2024, págs. 1-9
• Idioma: inglés
• Enlaces
  • Texto completo
• Resumen
  • català

    L’objectiu d’aquest treball és presentar una introducció al càlcul estocàstic. En la primera part parlem del moviment brownià, el qual veurem que es pot pensar com a límit de passeigs aleatoris amb l’ajut del principi d’invariància de Donsker. A continuació, presentem de manera heurística les equacions diferencials estocàstiques i veiem com es poden definir de manera rigorosa amb l’ajut de la integral estocàstica. Finalment, parlem d’existència i unicitat de solucions d’aquestes equacions i tractem un cas senzill com és el de l’equació de Langevin.

  • English

    The aim of this work is to provide an introduction to the subject of Stochastic Calculus. In the first part we talk about the Brownian motion, which we will see that it can be thought as a limit of random walks via Donsker’s Invariance Principle. Next, we heuristically present the stochastic differential equations and see how they can be rigorously defined with the help of the stochastic integral. Finally, we discuss the matter of existence and uniqueness of solutions to such equations and solve a rather simple case like the Langevin equation.

• Referencias bibliográficas
  • P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, Second edition, Wiley Ser. Probab. Statist. Probab. Statist., Wiley-Intersci. Publ.,...
  • S. Boukfal Lazaar, Weak convergence of the Lazy Random Walk to the Brownian motion, ReportsSCM 8(1) (2023), 11–19.
  • I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Second edition, Grad Texts in Math. 113, Springer-Verlag, New York, 1991.
  • B. Øksendal, Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, Sixth edition, Universitext, Springer Verlag, Berlin, 2003.