Resumen de Limiting interpolation methods
Alba Segurado López
El marco de esta memoria es la Teoría de Interpolación y, más concretamente, los métodos límite de interpolación. La Teoría de Interpolación juega un papel importante en el estudio de espacios de funciones y de operadores. Gran parte de estas aplicaciones se basan en el método real introducido por Lions y Peetre, donde el primer parámetro, theta, se encuentra estrictamente entre 0 y 1. Los casos límite, donde theta es 0 ó 1, han recibido también mucha atención, pero sólo en el caso ordenado, en el que el primer espacio está continuamente inyectado en el segundo. Entre otras cosas, estos métodos límite para pares ordenados se han aplicado en varios artículos para trabajar con integrales singulares, aproximación de integrales estocásticas y caracterizar los espacios de sucesiones de Cèsaro por interpolación. Trabajar en el caso ordenado es básico para los argumentos de estos artículos, pero, desde el punto de vista de la Teoría de Interpolación, esto es sólo una restricción. Por ello, es natural estudiar la extensión de estos métodos límite a pares arbitrarios, no necesariamente ordenados. El objetivo de buena parte de esta memoria es desarrollar una teoría lo más completa posible sobre métodos límite para pares arbitrarios. Así, presentamos una familia de K-métodos y una familia de J-métodos que están relacionadas por dualidad, que extienden las definiciones anteriores a pares arbitrarios y que producen una teoría lo suficientemente rica. Además, mostramos sus propiedades de dualidad y de reiteración y estudiamos el comportamiento de los operadores compactos y los operadores bilineales por estos métodos.También damos algunos ejemplos de espacios obtenidos por estos métodos límite. Primero, trabajando con cualquier espacio de medida sigma-finito, caracterizamos los espacios límite generados por un par de espacios de Lebesgue y por un par de espacios de Lebesgue con pesos. También consideramos el caso de un par de espacios de Sobolev y de un par de espacios de Besov. Empleamos también los métodos límite para obtener un resultado de tipo Hausdorff-Young para espacios de Zygmund. Aplicamos el estudio del comportamiento de los operadores bilineales por estos métodos límite a ciertos espacios de operadores. Además, por medio de las fórmulas de reiteración que obtenemos, identificamos los espacios que resultan al aplicar los métodos límite a pares de espacios de Lorentz y a pares de clases de Schatten. Una familia de espacios que está relacionada con estos métodos límite es la de los métodos logarítmicos, definidos mediante una función logarítmica quebrada. También en este caso estaremos interesados en los casos extremos en que el parámetro theta es 0 ó 1, puesto que había ciertas cuestiones naturales sobre estos espacios que todavía no se habían tratado. Primero, damos una norma equivalente mediante el J-funcional. Mostramos que, contrariamente al caso en que theta está estrictamente entre 0 y 1, cuando éste es 0 ó 1, la J-descripción depende de la relación entre el exponente del logaritmo quebrado y el parámetro q en ocasiones, se debe añadir una unidad a la potencia del logaritmo, en otras hay que insertar además un logaritmo iterado, y en otras, la J-descripción ni siquiera existe. También hallamos un resultado de compacidad para estos métodos, y, como consecuencia, obtenemos variantes del teorema de compacidad de Krasnosel'skii para espacios de Lorentz-Zygmund generalizados sobre espacios de medida sigma-finitos. Asimismo, empleamos las J-representaciones para caracterizar el comportamiento de los operadores débilmente compactos bajo interpolación en el caso límite, y también obtenemos los espacios duales de los espacios logarítmicos en términos del K-funcional. A diferencia de la teoría clásica, mostramos, con la ayuda de las J-representaciones, que el dual de un espacio logarítmico límite depende de la relación entre q y la potencia del logaritmo quebrado.
