Resumen de Operadores divergencia sobre una variedad diferenciable. Aplicaciones a la teoría de conexiones lineales
Una forma de volumen O sobre una variedad diferenciable M, da lugar a un operador divergencia definido por la igualdad: L*O= (div X)O, para cada Xe (M). Si D es un operador que aplica (M) en (M) ¿en que condiciones se verifica la igualdad D = div, para alguna forma de volumen O definida sobre M? Del análisis de esta cuestión ha surgido la teoría de operadores divergencia expuesta en el capítulo I, que rebasa ampliamente los límites del objetivo inicialmente planteado; los resultados fundamentales y las técnicas de trabajo desarrolladas son utilizados posteriormente en el capítulo II para la resolución de algunos problemas relacionados con la teoría de conexiones lineales y la teoría de sprays. Se inicia el capítulo I con una primera sección introductoria, en donde se detallan algunas propiedades destacables del operador divergencia usual, tres de las cuales son utilizadas en la sección 2 para establecer el concepto de operador divergencia (abstracto), comprobándose que este operador el localmente el operador divergencia asociado a cierta forma de volumen, que queda unívocamente determinada en algún entorno conexo de cada punto, salvo constantes multiplicativas no nulas. Este hecho motiva la definición y el estudio del transporte paralelo de una forma de volumen a lo largo de una curva respecto a un operador divergencia, por medio del cual se establecen condiciones topológicas sobre la variedad, para que todo operador divergencia definido sobre ella sea trivial. En la sección 3 se asocia canónicamente a cada operador divergencia cierta 1-forma definida sobre el fibrado de bases de la variedad íntimamente relacionada con el operador, caracterizándose completamente las 1-formas que proceden en este sentido de un operador divergencia.En la sección 4 se hace un estudio análogo de un operador más general, que se ha denominado pseudo-divergencia, y se generalizan gran parte de las cuestiones tratadas en las secciones precedentes, para este tipo de operador. El capítulo II (tras una sección preliminar con carácter introductorio) se inicia con un estudio sobre las conexiones que conservan local o globalmente una forma de volumen por transporte paralelo. Utilizando resultados anteriores se caracterizan este tipo de conexiones a través de una 1-forma en L(M), que se ha denominado traza, y que se corresponde con un cierto operador pseudo-divergencia canónicamente asociado a la conexión. Por otra parte, y restringiéndose al caso de conexiones simétricas, se relaciona la propiedad de simetría del tensor de Ricci con las caracterizaciones anteriores. Se han denominado sprays equivalentes a aquéllos que poseen las mismas curvas integrales, salvo cambios de parametrización. En la sección 3 se trata sobre este tema, llegando a obtenerse el siguiente resultado: <
