Resumen de Los radios sucesivos de un cuerpo convexo = Successive radii of convex bodies.

Bernardo González Merino

• A lo largo de este trabajo, la mayor parte de nuestros esfuerzos se han centrado en investigar el comportamiento de los llamados radios sucesivos de un cuerpo convexo (conjunto convexo y compacto). Dado un cuerpo convexo K, el i-ésimo radio sucesivo exterior Ri(K) es el menor radio que puede tener un cilindro con sección esférica i-dimensional que contenga a K, mientras que el i-ésimo radio sucesivo interior ri(K) es el radio de la mayor bola i-dimensional contenida en K. Uno de los resultados más significativos en el estudio de los radios sucesivos, a la vez que uno de los problemas centrales en este campo que aún sigue abierto, es una desigualdad demostrada independientemente por Pukhov (1979) y Perel'man (1987). Ambos probaron que si K es un cuerpo convexo n-dimensional, entonces se cumple que Rn-i+1(K)<(i+1)ri(K), y si además K es simétrico, la constante i+1 se puede sustituir por un valor más pequeño. Existen conceptos análogos a los radios sucesivos en Teoría de la Aproximación y de Espacios de Banach, los llamados números de Gelfand y Kolmogorov. En la tesis hemos estudiado e profundidad y demostrado la conexión existente entre estos números y los radios sucesivos de un cuerpo simétrico respecto al origen, lo que va a permitir obtener, el valor preciso, en unos casos, y cotas, en otros, de los radios sucesivos de cualquier dilatación ortogonal de las p-bolas unidad, para p=1,...,n. Incluimos también una demostración, desde el punto de vista geométrico, de estos resultados. A continuación, nos planteamos un problema de tipo Pukhov-Perel'man para otra familia de radios sucesivos interiores, es decir, acotar superiormente la razón Rn-i+1(K)/eri(K), donde eri(K) se define como el máximo de los inradios de proyecciones i-dimensionales de K. Haciendo uso de la estimación de este cociente, en la tercera sección conseguimos mejorar la desigualdad de Pukhov-Perel'man en el caso de un cuerpo convexo tridimensional simétrico respecto al origen, para lo cual estudiamos la relación entre los radios interiores eri(K) y ri(K). Finalmente, haciendo uso de las técnicas desarrolladas por Perel'man, probamos que, para todo cuerpo convexo K y n>2, se tiene que Rn-1(K)/r2(K) <2sqrt(2(n-1)/n), lo que mejora la cota de Pukhov y Perel'man en el caso general cuando i = 2. El resultado central de esta memoria describe, dados K y K' cuerpos convexos, cómo se relacionan los radios de la suma de Minkowski, K + K', con los de K y K'. Así, hemos obtenido las cotas inferiores (óptimas) para los radios sucesivos Ri(K+K') (respectivamente, ri(K+K')) en función de Ri(K) y Ri(K') (respectivamente, ri(K) y ri(K')). Se demuestra además que, salvo en el caso del circunradio R = Rn (respectiva- mente, el diámetro D = 2r1), no existe cota superior posible. Este "problema" desaparece cuando se consideran sumas particulares de cuerpos (por ejemplo, cuando uno de los sumandos es la bola euclídea o cuando se suma un cuerpo convexo K con su opuesto -K). La construcción llevada a cabo en el caso de la bola euclídea va a permitir además obtener como una sorprendente consecuencia que los radios sucesivos ri no son funcionales continuos cuando i=2,...,n-1. A continuación realizamos un estudio análogo al de las primeras secciones de este cuarto capítulo, considerando ahora un tipo de suma de cuerpos convexos más general: la p-suma K+pK' de dos conjuntos K y K'. Para concluir y completar el estudio de los radios sucesivos respecto a la suma de Minkowski, demostramos los resultados correspondientes para las restantes familias de radios sucesivos definidas en el primer capítulo de esta tesis. Throughout this dissertation, we will mainly focus our efforts in studying the behavior of the so-called successive radii of a convex body (compact and convex set). For any given convex body K, the i-th successive outer radii Ri(K) is the smallest radius of a solid cylinder with i-dimensional spherical cross section containing K, whereas the i-th successive inner radii ri(K) is the radius of the greatest i-dimensional ball contained in K. One of the most relevant results in the study of the successive radii, as well as still an open problem in this field, is an inequality independently proved by Pukhov (1979) and Perel'man (1987). They showed that if K is an n-dimensional convex body, then it holds that Rn-i+1(K)<(i+1)ri(K), and if in addition, K is symmetric, the constant i+1 can be substituted by something smaller. Analogous to the successive radii but in Approximation and Banach Space Theory, there exist the so called Gelfand and Kolmogorov numbers. In the thesis we have deeply studied and proved the connection between these numbers and the successive radii of a 0-symmetric body. This will allow to get the precise value (in some cases) or bounds for the successive radii of any orthogonally dilated image of the unit p-balls, for p=1,...,n. We will also include a geometrical proof of these results. Next we study a Pukhov-Perel'man type inequality for a different family of successive inner radii, i.e., to bound by above the quotient Rn-i+1(K)/eri(K), where eri(K) is defined as the maximum of the inradii of all i-dimensional projections of K. Using this bound, we improve the Pukhov-Perel'man inequality in the case of a 3-dimensional 0-symmetric convex body in, for which we have to study the relation between the inner radii er2(K) and r2(K). Finally, following the original idea of the proof of Perel'man for dimension 3, but slightly modifying some steps, we show that for any n-dimensional convex body K , n>2, it holds that Rn-1(K)/r2(K) <2sqrt(2(n-1)/n), which improves the original bound showed by Pukhov and Perel'man in the case of i = 2. The main results of this work describe, for any given two convex bodies K and K', how the successive radii of their Minkowski addition, K + K ', are related to the radii of K and K'. Thus, we obtain the (optimal) lower bounds for the outer successive radii Ri(K + K') (respectively, ri(K + K')) in terms of Ri(K) and Ri(K') (respectively, ri(K) and ri(K')). We also prove that, except in the case of the circumradius R = Rn (respectively, the diameter D = 2r1), there exists no upper bound. This "problem" disappears when particular sums of convex bodies are considered (for instance, if one of the summands is the Euclidean ball or when we take the Minkowski addition of a convex body K and its opposite -K). The construction carried out in the case of the Euclidean ball will allow to obtain, as a surprising consequence, that the inner radii ri are not continuous functionals if i=2,...,n-1. Then we consider the analogous problem to the one studied in the first sections of this chapter, but involving a more general type of addition of convex bodies: the p-sum K +p K' of two sets K and K'. In order to conclude the chapter and complete the study of the successive radii with respect to the Minkowski addition, we prove the corresponding results for the remaining families of successive radii defined in the first chapter of this thesis.