Geodésicas en variedades hiperbólicas

• Autores: María Victoria Melián
• Directores de la Tesis: José Luis Fernández Pérez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 1994
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Maurice Dodson (presid.) , Gabino González Díez (secret.) , Jesús Miguel Bastero Eleizalde (voc.) , Joan Orobitg i Huguet (voc.) , Joan Verdera (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • Esta tesis supone un estudio completo del comportamiento asintótico de las geodésicas de superficies de Riemann y de variedades hiperbólicas. La motivación que origina este estudio es doble. Por una parte, la teoría métrica de aproximación diofantica: resultados clásicos de Khintchine, Besicovitch y Jarnik se traducen en problemas de comportamiento asintótico de geodésicas en la superficie modular. De otra la teoría geométrica de funciones con resultados mas recientes de Makarov, Rohde y Bourgain. El comportamiento radial del cubrimiento universal de una superficie de Riemann es, por supuesto, el comportamiento asintótico de las geodésicas de R. Este cubrimiento, en ciertos problemas, exhibe un comportamiento extremo respecto de las funciones con valores en R. En el capitulo 2 se desarrolla un método general para estimar por debajo la dimensión de Hausdorff de conjuntos asociados a problemas de aproximacion, se trata de los sistemas bien distribuidos. En los capítulos 3, 4 y 5 se estudia la dimensión de Hausdorff de los conjuntos de direcciones v en las que la geodésica que parte de P con dirección V, YP, V. Se aproxima con cierta velocidad: a una cúspide, o a otro punto fijo Q, o a una geodésica prefijada. Uno de los resultados mas interesantes de la tesis aparece en el capitulo 6. Se refiere a las geodésicas acotadas y supone la introducción de un conjunto limite nuevo para grupos Kleinianos: el conjunto limite acotado. Para superficies de Riemann se obtiene lo siguiente: teorema. Para toda superficie de Riemann r = a/g. Distinta del disco punteado, y para todo p e r, la dimensión de Hausdorff del conjunto de direcciones b(R.P)= (V, YP, V esta acotada) es igual al exponente de convergencia de r. Si R es el disco punteado b(R.P) es vacío.