Resumen de Aritmètica d'ordres quaterniònics i uniformització hiperbòlica de corbes de Shimura
Los principales resultados se refieren a la existencia y propiedades de uniformizaciones hiperbólicas de curvas de Shimura, obtenidas a través del estudio de la aritmética de los órdenes de álgebras de cuaterniones, El modelo canónico de las curvas de Shimura se caracteriza por sus puntos de multiplicación compleja. Se determinan estos puntos de manera explícita, a partir de un conjunto de biyecciones que se establecen entre: clases de inmersiones optimales de órdenes cuadráticos imaginarios en órdenes cuaterniónicos, clases de representaciones primitivas de enteros por formas cuadráticas ternarias enteras y clases de formas cuadráticas. Este estudio permite desarrollar uan teoria de clasificación de formas cuadráticas binarias por algunos subgrupos discretos de SL (2,R), diferentes de SL(2,Z).
El capítulo 1 se trata con álgebras de cuaterniones. En el capítulo 2 se introducen formalmente las curvas de Shimura. En el capítulo 3, se da una uniformización hiperbólica implementable, en el caso no ramificado de nivel primo. Los capítulos 4,5 y 6 se dedican a las formas nórmicas ternarias y cuaternarias y al conjunto de formas binarias obtenido a partir de las álgebras de cuaterniones. El capítulo 7 trata con inmersiones optimales de órdenes. En el capítulo 8, se estudia la uniformacización hiperbólica de curvas de Shimura correspondientes a las álgebras de división con resultados explícitos, en el caso ramificado. En el capítulo 9, se estudia los puntos de multiplicación compleja y se consideran los puntos de multiplicación compleja especial. La memoria incluye el paquete Poincare, implementado en MapleV con algoritmos de álgebra no conmutativa y geometría hiperbólica que permiten realizar cálculos efectos.
