Algunos resultados de estabilidad para ecuaciones en derivadas parciales estocásticas con retardo

• Autores: Tomás Caraballo Garrido
• Directores de la Tesis: José Real Anguas (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1988
• Idioma: español
• ISBN: 9788469426241
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • En esta memoria presentamos una contribución al estudio de la estabilidad en la Ecuaciones en Derivadas Parciales Estocásticas (E.D.P.E) con retardo. Hemos estructurado nuestro trabajo en cuatro capítulos. En el primero se encuentran aquellos resultados sobre integración estocástica que nos serán de utilidad en el posterior desarrollo de nuestra memoria. Nos hemos limitado a exponer los resultados adecuándolos a nuestras necesidades, y hemos realizado un esfuerzo considerable por ordenar los conceptos realizando una exposición tan clara como nos ha sido posible.De entre los resultados de este capítulo podemos destacar dos que van a ser fundamentales en nuestra labor: la Desigualdad de Burkhölder-Gundy y la Fórmula de Itô.En el segundo capítulo trabajamos con otro concepto de solución de (P) como es el de solución generalizada (o �mild solution�), que va a ser el proceso de yt dado por la siguiente expresiónYt=Ut x0 + ?t0 Ut-gBxp(g)dws t=0donde {Ut}t=0 es el semigrupo de operadores generado por el operador A y ?(0)=x0. La relación principal que existe entre los dos tipos de soluciones que hemos mencionado, y que nos va a interesar en nuestro caso, es que la solución fuerte es solución generalizada. Es decir, en concreto probaremos que xt=yt c.p.d. en t. El recíproco no siempre es cierto (puede consultarse Ichikawa [18]-[20]donde hay condiciones para que dicho recíproco sea cierto).EL hecho de que solución fuerte implica generalizada es utilizado por Haussmann en [16]. Sin embargo, no hemos encontrado en la literatura una demostración del mismo. Por ello hemos considerado conveniente llevar a cabo dicha prueba, ya que este resultado va a jugar un papel fundamental en el desarrollo de nuestor trabajo.Para realizar dicha prueba, dedicamos un primer párrafo a exponer los resultados principales sobre semigrupos de operadores. A continuación efectuamos la prueba del resultado en el caso determinista, para concluir finalmente con una sección en la que, basándonos en el caso anterior, probamos el caso estocástico. Para ello tendremos que dotar el dominio del operado A de una estructura hilbertiana procedente de una norma que no es la del grafo (esta última suele ser usual en este espacio).Los dos últimos capítulos constituyen la parte fundamental, y propiamente original, de este trabajo.El primero de ellos, es decir el tercer capítulo, proporciona las respuestas a las cuestiones a), b) planteadas anteriormente. El método que utilizamos proporciona, además, una nueva demostración de los resultados de Haussmann [16] (en el caso en que tomemos p(t)=t) con las mismas hipótesis cuando B ? L(H), y con una hipótesis algo más restrictiva en el caso en que B ? L (V, V�) y no como conmute con Ut ( o lo que es lo mismo con A). Esta misma separación entre los casos conmutativo y no conmutativo se encuentra efectuada, por ejemplo, en Pugliese [36]. Concluimos el capítulo estudiando una serie de ejemplos en los que se pone de manifiesto la aplicación de los diversos resultados obtenidos previamente.Finalmente, en el Capítulo IV efectuamos unos comentarios y observaciones que nos permiten relajar las condiciones adicionales impuestas sobre el retardo, hast allegar a las que impone Real en [37] para el estudio de la existencia y unicidad de solución. A esto se dedica una primera sección. En la siguiente, se estudia una ecuación con dos perturbaciones retardadas que engloba, en cierta medida, el caso tratado en [12] por El�sgol�ts-Norkin, y que junto con dicho resultado nos permite dar un teorema que completa el estudio allí realizado.