Resumen de Ricci flow on cone surfaces and a three-dimensional expanding soliton
Daniel Ramos Guallar
El principal objectiu d'aquesta tesi és l'estudi de l'evolució mitjançant el flux de Ricci de superfícies amb singularitats de tipus cònic. Un segon objectiu, sorgit de les tècniques que utilitzem, és l'estudi de famílies de solitons del flux de Ricci en dimensió 2 i 3. El flux de Ricci és una equació d'evolució per a varietats Riemannianes, introduïda per R. Hamilton el 1982. És des dels avenços assolits per G. Perelman amb aquesta tècnica el 2002 quan el flux de Ricci s'ha establert com a una disciplina pròpia, aixecant un gran interès per la comunitat. Aquesta tesi conté quatre resultats originals. El primer resultat és una classificació exhaustiva dels solitons en superfícies llises i còniques. Amb aquesta classificació completem els precedents trobats per Hamilton, Chow i Wu entre d'altres, i obtenim descripcions explícites de tots els solitons en dimensió 2. El segon resultat és una Geometrització de les superfícies còniques mitjançant el flux de Ricci. Aquest resultat, que utilitza el primer resultat ja esmentat, estén la teoria de Hamilton al cas singular. Aquest és el resultat més extens, per al qual fem servir i desenvolupem tècniques tant d'anàlisi i EDPs com de geometria de comparació . El tercer resultat és l'existència d'un flux de Ricci que elimina les singularitats còniques . Això exposa clarament la no unicitat de solucions al flux, en analogia als fluxos de Ricci amb cusps de P. Topping . El quart resultat és la construcció d'un nou solitó gradient expansiu en dimensió 3. De la mateixa manera que amb els solitons cònics, donem una construcció explícita utilitzant tècniques de retrats de fase. Demostrem també que és l'únic solitó amb la seva topologia i la seva cota inferior de la curvatura, i que és un cas crític entre tots els solitons expansius en dimensió 3 amb curvatura acotada inferiorment. A més, mostrem que l'evolució de la seva curvatura escalar no és monòtona.
