Resumen de Sobre visibilidad en espacios N-dimensionales y superficies no planas
Tres son los problemas fundamentales que presenta el estudio de los grafos de visibilidad: el de la construcción, el de la caracterización y el de la reconstrucción. El problema de la construcción del grafo de visibilidad para una configuración finita de segmentos sobre el plano se resuelve en tiempo cuadratico. Sin embargo, dado que sobre otras superficies, como puedan ser el cilindro o el toro, dos puntos no solo definen una geodesica sino toda una familia no finita de ellas, el problema de la construccion de dicho grafo puede ser un problema de naturaleza no finita. En un primer capitulo se estudia este problema, sobre las superficies del cilindro y del toro, dandose algoritmos que, en tiempo finito, determinan si dicho grafo es o no finito. En cuanto a los problemas de la caracterización y la reconstrucción, los resultados existentes son aún muy escasos. Desde sus inicios, la teoría de la visibilidad ha tratado de estudiar si cualquier grafo admite una representación de visibilidad, al igual que la admite de manera topológica, sin obtener más que algunos resultados parciales en este sentido. Mediante generalizaciones, de cualquiera de las dos vias más generales que aparecen en la literatura, se consigue probar que cualquier grafo admite una representación de visibilidad, dedicandose un capítulo a cada una de ellas. La primera, que denominamos VHR-visibilidad y consiste en aumentar la dimension del espacio euclideo sobre el que se trabaja, nos conduce a la definición del que llamaremos indice de representación de un grafo. La segunda via, consistente en aumentar el genero de la superficie sobre la cual se realiza la representación, nos llevara a definir el indice bar de dicho grafo. En los referidos capítulos se obtienen los índices de representación para algunas familias distinguidas de grafos así como la caracterización de los grafos de índice igual a 1. Es decir L, la caracterización de los grafos que admiten una representación de visibilidad sobre la superficie del toro.
