Resumen de Bordismo seccional de fibrados y submersiones
El objeto de este trabajo es sistematizar una técnica que intenta atacar el problema de existencia de secciones de funciones continuas o funciones diferenciables, y el problema de triangulación de una variedad topológica. El antecedente directo de esta técnica está en la teoría de homología seccional introducida por Weshu Shih, para el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.
Dada una aplicación contínua f : X →B entre espacios topológicos X y B. Shih consideró el conjunto simplicial K(f) construido como sigue: Los q-símplices son las parejas (σ,γ), donde σ:Δq→B es una aplicación inyectiva continua del q-símplice estándar Δq=((Xo,X1,…,Xq)ЄRq+1|X1≥0, ΣXi=1> en B. y γ es uan función continua γ:Δq→X tal que σ=f·γ. Los operadores cara se definen de una manera natural. Cuando X, B son variedades diferenciales, f es un morfismo diferenciable y KЄZ+U(∞), se define el subconjunto simplicial K(f)k de K(f) formado por las (σ,γ) diferenciables de clase Ck, con σ inmersión difeomorfa (fr. “plongement”). Entonces definió el grupo de homología seccional con soportes propios de f. designado por H*(f)s, como el grupo de homología de las cadenas localmente finitas del conjunto simplicial K(f) con coeficientes enteros. De la misma manera definió los grupos seccionales H*(f)s,k. Considerando sólo las cadenas finitas en K(f) y K(F)k se obtienen los respectivos grupos de homología seccional con soportes compactos de f.
el homomorfismo natural de la homología seccional de f:X→B en la homología singular de B con cadenas localmente finitas Pn:Hn(f)s→HIIn(B) le permitió definir el grado seccional de la función f, denotado deg(f), cuando B es una variedad orientada de dimensión n por la f´romula deg(f) = card (HIIn(B)/Im Pn>-1.
En el caso en que X, B y f sean de clase C∞, se puede utilizar el grupo de homología seccional k-veces derivable Hn(f)s,k en lugar de Hn(f)s, y obtener el grado de k-veces derivable de f: degk(f).
Estas nociones le permitieron probar que la anulación de deg(f) es necesaria para que f admita una sección continua y, en el caso diferenciable, que degk(f)=O es necesario para que f tenga una sección de clase Ck.
Redefiniendo los grupos de homología con soportes compactos de f. Shih obtiene nuevos grados (ver el capítulo VIII de esta Tesis), que coinciden con los anteriores cuando la variedad V es compacta, y demuestra un teorema de caracterización del nuevo grado seccional continuo de f:Y→X, con la condición de que f sea un espacio fibrado localmente trivial cuya base X sea una variedad topológica conexa orientada de dimensión n y cuya fibra sea un CW-complejo finito conexo.
Shih no presenta demostraciones ni propiedades de las homologías, ni indica la categoría explícitamente. Lo hace François Lalonde, quien ha dedicado su Tesis a estudiar sistemáticamente la homología seccional con soportes compactos. Ha demostrado que cumple los axiomas de Eilenberg-Steenrod, excepto el de escisión, en una categoría adecuada y que los grupos correspondientes no son invariantes de homotopía continua. Esto último es un inconveniente para el cálculo, pero es fundamental para poder aplicar esta teoría a los problemas de ecuaciones en derivadas parciales o integrales pues estos problemas no son invariantes por homotopía. La These d’Etat de Lalonde está dedicada a calcular la homología seccional diferenciable de clase CK de las funciones diferenciables f:X2→X1 que localmente son de la forma RnxRm→Rn. estas funciones, que se llaman k-submersiones, engloban a los fibrados localmente triviales y a las submersiones en el sentido ordinario. El resultado que obtiene, para lo cual introduce nuevas teorías de homología que llama homología de p-campos transversos y homología de “plongements”, es el siguiente:
TEOREMA S. Sea f:X2→X1 una k0-submersión (2≤k0≤∞). Cualquiera que sea 1≤k≤k0, el morfismo inyectivo P2:C(f)k→c(Xz) del grupo de cadenas seccionales finitas de clase Ck de f en el grupo de cadenas singulares finitas del espacio Xz, dado por la proyección (Δq,σ,γ)→(Δq,γ), índice un isomorfismos P2* sobre los grupos de homología en las dimensiones inferiores a n = dim Xz y un epimorfismos en dimensión n (los grupos de homología seccional de f son nulos en las dimensiones >n).
Aquí vamos a presentar una teoría de homología más simple que las anteriores, que es una teoría de Eilenberg-Steenrod (es decir, que cumple escisión) y que la definición de grado coincide con las anteriores. El método adoptado consiste en construir una apropiada teoría de bordismo tomando como modelos las seudovariedades. Los ciclos geométricos asociados a una función continua f:Y→X son cuaternas (P, σ, γ, P) donde P es una seudovariedad, σ y γ son funciones continuas tales que σ=f·γ y P es un recubrimiento por subpoliedros compactos de P, de forma que σ es “casi inyectiva” en cada subpoliedro PiЄP. Decimos que una función σ:Pi→X definida en un poliedro Pi es “casi inyectiva” si existe un poliedro Q, un p.l. –epimorfismo π:Pi→Q y una función continua inyectiva υ:Q→X tales que σ = υ·π. El usar funciones “casi inyectivas” es para que sea posible la construcción “cilindro de un ciclo” que permite hacer bordante un ciclo a sí mismo (como se sabe, esto es esencial en toda teoría de bordismo). En nuestro caso el cilindro del ciclo (P, σ, γ; P) es (PxI, σ·pr1, γ·pr1; PxI), donde I es el intervalo cerrado [0.1], pr1 es la proyección canónica sobre el primer factor y PxI = {PixI | PiЄP}; es evidente que σ·pr1 no puede ser inyectiva, ni siquiera “inyectiva a trozos”. Una posible desventaja de este procedimiento de representar los ciclos seccionales frente a otros procedimientos que se imaginen, es que estamos obligados a estudiar si las funciones σ son o no inyectivas en cada PiЄP. La solución que tenemos es que en cada clase de seudobordismo hay al menos un ciclo (P, σ, γ; P) en el cual σ es inyectiva en cada PiЄP. Una característica positiva del bordismo aquí presentado es que hay una equivalencia natural con la homología de un apropiado complejo de cadenas que llamamos homología seccional casi-inyectiva, lo cual nos permite compararlo directamente con la homología singular y demostrar que el grado definido con nuestra homología coincide con el Shih.
También se da el seudobordismo seccional diferenciable de clase Ck. Su estudio se basa en un caso particular, el seudobordismo de casi-inmersiones difeomorfas de clase Ck, de forma análoga a lo que ocurre con la homología seccional diferenciables y la homología de “plongements”, pero sin necesitar nada parecido a la homología de p-campos transversos, lo cual, junto al uso de las técnicas de aproximación de inmersiones difeormorfas diferenciales, produce una teoría mucho más sencilla que la dada por Lalonde. Los ciclos seccionales diferenciables de clase Ck (P, σ, γ; P)k asociados a una función f:Y→X de clase Ck son ciclos seccionales con funciones σ y γ continuas que cumplen ciertas condiciones de diferenciabilidad respecto a las variedades cX = X U∂x∂X*[0,1) y cY = Y U∂Y∂Y*[0,1), que se obtienen pegando a X y a Y sendos collares diferenciables. La razón de esto es haber observado que los simplices (Δn, σ, γ)k de la homología seccional diferencial de Shih son, por definición, tales que σ se prolonga a una inmersión difeomorfa s:U→X siendo U un entorno abierto de Δn en el espacio euclideo generado por Δn. por lo tanto, si dim X = n resulta que σΔn∩∂x = 0 γ, en consecuencia ninguna de las cadenas de dimensión igual a la de X que se forme con éstos símplices puede tener como borde una cadena cuyo soporte en X esté enteramente sobre ∂x, con lo cual no tiene sentido tratar con dicha homología seccional el problema de extender una sección definida en ∂x a todo X, ni tampoco tiene sentido tratar con ellas el problema de Dirichlet para una ecuación diferencial.
Con dicha teoría de homología, los resultados que presentamos y consideramos más sobresalientes son:
(1) Se da un tratamiento unificado de una teoría del grado de Shih utilizando, tanto en el caso compacto como en el no compacto, una teoría de bordimos seccional que es una teoría de homología ordinaria, en el sentido de Eilenberg-Steenrod, que permite un tratamiento más simple que en el realizado por Lalonde.
(2) Demostrar que dichos grados nos permite:
2a) Caracterizar la variedades triangulables;
2b) Caracterizar la existencia de secciones de funciones continuas y de funciones diferenciables.
Por otro lado, sobresale el haber extendido el “Teorema S” de LALONDE al caso de homología con soportes propios.
Hay que observar que los cálculos con éstas homologías son difíciles, los cuales corresponde a la dificultad de los problemas que pretende tratar. Este trabajo, por tanto, no pretende más que sentar las bases de un nuevo método para el futuro estudio de dichos problemas.
La memoria se presenta organizada en dos partes, cada una de las cuales consta a su vez de varios capítulos. La primera parte está dedicada a la homología seccional de funciones continuas y al grado continuo. En la segunda parte se trata el caso diferenciable, con especial énfasis en los fibrados localmente triviales y las submersiones. La extensión de algunos capítulos es reducida porque, para facilitar la lectura, se han suprimido las demostraciones que se pudieran obtener con fáciles pero laboriosas adaptaciones de demostraciones anteriores, y porque se ha querido facilitar la localización de los resultados, renunciado por ello a refundirlos con otros.
A lo largo de esta memoria, y también en esta introducción, las referencias bibliográficas aparecen entre corchetes, mientras que las referencias internas a las definiciones, notas y resultados de este trabajo se hace colocando entre paréntesis las dos cifras con las cuales están ordenados lexicográficamente, la primera de las cuales india el capítulo en que está situado y la segunda el lugar dentro de él. Así, la cita “(2.4)” se refiere al ítem cuarto del capítulo segundo.
