Resumen de On asymptotic behaviour of one-parameter families of bounded operators on Banach spaces
María Martinez Martinez
El estudio del comportamiento asintótico de familias uniparamétricas (en particular, C0-semigrupos) de operadores en un espacio de Banach ha recibido mucha atención en los últimos años. La convergencia a cero de las órbitas de una familia dada es un objeto de estudio central en teoría de operadores y ecuaciones diferenciales. Bajo condiciones de muy diversa naturaleza, y motivados por sus aplicaciones en las ecuaciones diferenciales, se ha obtenido un importante número de resultados sobre estabilidad de C0-semigrupos y otras familias. Una panorámica completa de las técnicas utilizadas y los resultados obtenidos en este tema puede encontrarse en [B, CT, EN, N]. 1. RESUMEN DEL CONTEXTO: El propósito de esta sección es presentar el conjunto de resultados que han motivado y permiten situar y comprender adecuadamente los obtenidos en la memoria de tesis doctoral. 1.1. ESTABILIDAD DE SEMIGRUPOS: Sea X un espacio de Banach complejo y A un operador cerrado en X con dominio D(A) y rango R(A). Sea también u: [0,1) ? X una función continua (con valores vectoriales), diferenciable en (0,1) y tal que u(t) ? D(A) para todo t > 0. El problema abstracto de Cauchy (PAC) para A consiste en encontrar una función u en las condiciones anteriores y que verique la ecuación u’(t) = Au(t); t > 0; u(0) = x; x ? X; donde x ? X es un valor inicial dado. Se dice que el problema está bien planteado si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo fuertemente continuo T(t) de operadores lineales y acotados en X. En ese caso, la solución u viene dada por u(t) = T(t)x, t >0. Una cuestión importante sobre el comportamiento de una tal solución u es si es o no estable, lo que equivale a decir, por definición, que u(t)? 0 cuando t??. Así, para un x ? X dado, se dice que la órbita {T(t)x : t >0} es estable cuando limT(t)x = 0 (t??), y que el semigrupo T(t) es estable si todas sus órbitas son estables. A continuación, recordamos algunos resultados fundamentales sobre estabilidad. EL TEOREMA DE LIAPUNOV: Comenzamos con el caso más sencillo. Denotemos por B(X) al álgebra de Banach de los operadores lineales y acotados en un espacio de Banach X. Suponer que A es el generador de un semigrupo e^{tA)_{t?0} dado por la serie (convergente en B(X)) e^{tA}=?_{k=0}^{?} (t^k A^k)/k! En particular, podemos considerar el álgebra Mn(C) formada por las matrices nxn en el cuerpo complejo C. El clásico teorema de estabilidad de Liapunov se remonta a 1892 (ver [Li] y [EN, Theorem I.2.10]). Este resultado caracteriza la estabilidad del semigrupo a partir de la localización de los autovalores de A para A ? Mn(C): Teorema 1. Sea e^{tA} el semigrupo generado por una matriz A ? Mn(C). Son equivalentes: (a) El semigrupo es estable. (b) Todos los autovalores de A tienen parte real negativa. Naturalmente, los matemáticos han tratado de extender este teorema (finito-dimensional) al caso en que los espacios X y B(X) sean de dimensión infinita. Una línea de investigación en este sentido es la que introducimos a continuación. Sea A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo en un espacio de Banach arbitrario X. Se define la cota espectral s(A) de A como s(A):= sup{Rez : < z??(A)} donde ?(A) denota el espectro al A. En el caso en que el operador A esté acotado, se tiene la siguiente extensión del Teorema 1, también conocido en la literatura con el nombre de teorema de Liapunov. Teorema 2. Sea A un operador acotado en un espacio de Banach X. Entonces, la cota espectral s(A) de A coincide con la cota de crecimiento exponencial de A (o de T(t), alternativamente). Por tanto, el teorema de Liapunov muestra que el espectro ?(A) de A es responsable del comportamiento asintótico de la solución u de la ecuación (PAC). La relación entre las dos versiones anteriores del teorema de Liapunov viene dada por el hecho de que si ?(A) está contenido en el semiplano complejo de la izquierda, es decir, s(A) < 0, entonces la solución es (uniformemente) asintóticamente estable: s(A) < 0 y, por tanto, e^{tA}?0 cuando t?? (ver [EN, Theorem I.3.14]). La demostración del Teorema 2 (ver por ejemplo [DK, Theorem I.4.1] o [EN, Corollary IV.2.4]) se basa en el teorema de la aplicación espectral (ver [EN, Theorem I.3.13]). Ni el teorema de la aplicación espectral ni el teorema de Liapunov son ciertos para operadores A no acotados. Incluso en espacios de Hilbert, se conocen ejemplos de C0-semigrupos cuya cota de crecimiento exponencial es estrictamente mayor que la cota espectral s(A), ver [EN, Counterexamples IV.2.7 and IV.3.4]. Estas “patologías" son el punto de partida de la teoría asintótica moderna de semigrupos. ESTABILIDAD DE ÓRBITAS: Sea P?(A*) el espectro puntual del operador adjunto A^* de un operador cerrado A. Arendt-Batty en [AB] y Lyubich-Vu en [LV] han probado, independientemente y con demostraciones distintas, el siguiente resultado (véase también [N, Theorem 5.1.5]): Teorema 3. Sea {T(t): t ?0} un C0-semigrupo de operadores uniformemente acotado en un espacio de Banach X. Sea A su generador infinitesimal. Si (i) ?(A)? iR es contable, y (ii) P?(A*) ? iR = ?; entonces T(t) es estable. Nos referiremos a este célebre resultado de estabilidad como el teorema de Arendt-Batty-Lyubich-Vu. Ninguna de las condiciones espectrales (i) y (ii) del teorema anterior es prescindible, ver [AB]. Este resultado ha sido extendido posteriormente por Vu a semigrupos de crecimiento no cuasianalítico en [V1]. El resultado de Vu es el siguiente: Teorema 4. Sea A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo T(t) dominado por una función ?(t) no casianalítica cuyo peso reducido asociado ? ?(t)=O(t^k) cuando t?? para algún k ? 0. Suponer que ?(A)? iR es contable y que P?(A*) ? iR = ?. Entonces, ?(t)^(-1) T(t)x ? 0 cuando t?? para todo x ? X. La estabilidad del semigrupo obtenida en los dos anteriores resultados involucra a la topología fuerte. Es posible dar resultados de estabilidad en norma de operadores cuando el semigrupo actúa sobre ciertos operadores obtenidos mediante un cálculo funcional adecuado. Nos referimos a la extensión para C0-semigrupos del clásico teorema de Katznelson-Tzafriri. La versión continua de este teorema para C0-semigrupos uniformemente acotados ha sido probada en [ESZ, Theoreme 3.4] y [V, Theorem 3.2]), independientemente y con demostraciones que involucran métodos de naturaleza distinta. Notemos que el álgebra de Banach de convolución L1(R) es regular y que el espacio de Banach L1(R+) puede verse como una subálgebra de L1(R). El resultado de [ESZ] y [V] es el siguiente: Teorema 5. Sea A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo uniformemente acotado T(t) en X. Si f ? L1(R+) es una función de síntesis espectral en L1(R) respecto de i?(A)?R entonces T(t) ?_0 (f) ? 0 cuando t?? donde ?_0: L1(R+) ? B(X) es el homomorfismo acotado de álgebras de Banach dado por ?_0 (f)=?_{0}^{?} f(t)T(t)xdt, x?X. Como consecuencia inmediata de este teorema se obtiene que, en las anteriores condiciones, las órbitas {T(t)y : t?0} son estables para todo y ? Y donde Y := {?_0 (f)x: x?X, f ? L1(R+) de síntesis espectral respecto de i?(A)?R}. De lo anterior se deduce que, en los casos en que el subespacio Y sea denso en X, el semigrupo T(t) es estable. En [ESZ] se prueba que este hecho sucede cuando ?(A)? iR es contable y que P?(A^*) ? iR = ?. Esto supone, por tanto, una demostración alternativa del teorema de estabilidad de Arendt-Batty-Lyubisch-Vu. TASA DE DECRECIMIENTO DE ÓRBITAS ESTABLES: En las últimas décadas, muchos autores se han interesado en buscar estimaciones de la tasa de decrecimiento de órbitas estables de semigrupos de operadores, es decir, cuantificar su velocidad de convergencia a cero. Motivado por las aplicaciones en ecuaciones diferenciales, se ha realizado un gran progreso en el caso en que el generador infinitesimal del C0-semigrupo en cuestión tenga espectro frontera vacío (ver [BEPS], [BD], [Bu], [Le] o [LR]). De estos resultados, se desprende que la tasa de decrecimiento de ciertas órbitas está determinada por el crecimiento de la resolvente a lo largo del eje imaginario. Un resultado general y unificado en este sentido ha sido dado por Batty and Duyckaerts (ver [BD, Theorem 1.5]): Teorema 6. Sea T(t) un C0-semigrupo uniformemente acotado en un espacio de Banach X. Sea A su generador infinitesimal y suponer que ?(A)? iR es vacío. Para cada k?N, existen constantes Ck; Tk > 0 de manera que ?T(t)(I-A)^(-k) ? ? Ck/(M_log^(-1) (t/Ck))^k para todo t?Tk donde M(x)? sup_{1?|?|?x} ?(i?-A)^(-1) ?, x?1, M_log (x)?M(x)log((1+M(x))(1+x)), x?1. Nota. En [BD], se conjetura que el factor de corrección logarítmico en M_log es necesario si X es un espacio de Banach general pero puede ser eliminado en el caso en que X sea un espacio de Hilbert. En [BT], A. Borichev y Y. Tomilov han confirmado esta conjetura para crecimientos polinomiales M. La demostración del Teorema 6 se basa en un método clásico de integración sobre contornos introducido por Newman y Korevaar en [Ne] y [K]. Usando esta técnica, C. J. K. Batty y T. Duyckaerts han estimado también la tasa de decrecimiento de las medias de Cesaro de funciones acotadas (con valores vectoriales) cuya transformada de Laplace puede extenderse analíticamente a una cierta región que contiene al eje imaginario ([BD, Theorem 4.1]). 1.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE CON VALORES VECTORIALES Y ANÁLISIS ASINTÓTICO: Como se desprende del apartado anterior, el estudio del comportamiento asintótico de órbitas de familias uniparamétricas está ligado al estudio de la transformada de Laplace de funciones con valores vectoriales. En esta sección, seguimos profundizando en esta relación. Si T(t) es un C0-semigrupo uniformemente acotado en un espacio de Banach X generado por un operador cerrado A entonces el conjunto resolvente ?(A) de A contiene al semiplano complejo de la derecha y la resolvente de A viene dada por la transformada de Laplace del semigrupo. Por tanto, la transformada de Laplace es el nexo entre los problemas de Cauchy y las propiedades espectrales de los operadores asociados, es decir, entre las soluciones a dichos problemas y las resolventes de tales operadores. Este trabajo no está orientado hacia la obtención de teoremas de representación para la transformada de Laplace (correspondientes a la existencia y unicidad de solución del problema abstracto de Cauchy); una amplia colección de resultados en este sentido puede verse en [ABHN, Section 3.1]. Por el contrario, hemos centrado nuestro estudio en la obtención de resultados de naturaleza tauberiana para la transformada de Laplace que permiten deducir aplicaciones de interés en la teoría asintótica de órbitas de semigrupos -es decir, de las soluciones de (PAC)- y de otras familias uniparamétricas relacionadas con dicho problema. FÓRMULA DE INVERSIÓN DE POST-WIDDER: Es bien conocido que cualquier función f : R+ ?X localmente integrable y que sea transformable Laplace está unívocamente determinada por su transformada de Laplace, como muestra el siguiente resultado (ver [ABHN, Theorem 1.7.7]). Teorema 7. Sea f: R+ ?X localmente integrable y transformable Laplace. Entonces, para todo punto t > 0 de Lebesgue de f, f(t)= lim_{n??} (-1)^n (1/n!) (n/t)^(n+1) (Lf)^(n) (n/t). Este resultado extiende a funciones con valores vectoriales el clásico teorema de Post-Widder de inversión de la transformada de Laplace; ver [P, W]. En los últimos años, la fórmula de Post-Widder se ha aplicado con gran eficacia en muchos problemas numéricos; ver por ejemplo [MCPS, SB]. Sea ahora T(t) un C0-semigrupo en B(X) y sea x ? X. Si tomamos f(t) = T(t)x en el teorema 7 y aplicamos la ecuación resolvente obtenemos la conocida como fórmula de Euler para semigrupos; ver [ABHN, Corollary 3.3.6]. Esta fórmula sugiere que las órbitas de un semigrupo pueden obtenerse a su vez como un límite de órbitas del operador resolvente de su generador infinitesimal. En el capítulo 3 de este trabajo, se obtiene una versión integrada de las fórmulas de inversión anteriores. 1.3. PROBLEMAS DE CAUCHY MAL PLANTEADOS Y COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO DE SOLUCIONES: Existen operadores cerrados de interés A para los cuales el problema abstracto de Cauchy está mal planteado en el sentido de que A no es el generador infinitesimal de ningún C0-semigrupo. Sin embargo, en algunos casos importantes en los que se produce esta situación, es posible resolver el problema utilizando familias de operadores más generales que los semigrupos, como los llamados semigrupos integrados. En problemas de Cauchy de otros órdenes, intervienen otras familias uniparamétricas de interés como las funciones coseno, las coseno integradas y las familias de Mittag-Leffler. En esta memoria, centramos nuestro estudio en los semigrupos integrados, principalmente. Suponer que A es el generador de un semigrupo integrado n veces Tn(t) exponencialmente acotado. Entonces, la función u(t)?d^n/(dt^n ) Tn(t)x, t>0 es la única solución de la ecuación (PAC). Por tanto, el límite de tipo ergódico lim_{t??} t^{-n}Tn(t)x=0 refleja el comportamiento asintótico de la solución u en el infinito. En [ElM], un semigrupo integrado una vez T1(t) generado por un operador A se llama estable cuando existe lim T1(t)x en X para todo x en D(A). Esta condición parece razonable pero entraña una importante restricción sobre el generador A. De hecho, si T1(t) es estable en el sentido anterior, entonces A debe ser inversible; ver [ElM, Proposition 5.1 and Remark 5.3]. En este contexto, el teorema de estabilidad de Arendt-Batty-Lyubich-Vu (Teorema 3) admite la siguiente versión integrada (ver [ElM, Theorem 5.6]): Teorema 8. Sea A el generador infinitesimal de un semigrupo integrado una vez T1(t) uniformemente acotado y tal que (i) ?(A)? iR es contable, y (ii) P?(A*) ? iR = ?; entonces T1(t) es estable. Más aún, lim_{t??}T1(t)x = -A^{-1}x para todo x ? X. En el capítulo 4 del presente trabajo, obtenemos una extensión de este resultado para semigrupos integrados n veces con generador inversible y con un crecimiento de tipo no cuasianalítico. En esta dirección, el siguiente objetivo es encontrar resultados como el teorema 8 anterior para semigrupos integrados n veces cuyos generadores no sean necesariamente inversibles. En el capítulo 6 de la memoria, establecemos un resultado de esta naturaleza para semigrupos integrados n veces de crecimiento atemperado t^n. La conclusión de un tal resultado no es la estabilidad del semigrupo integrado en el sentido mencionado anteriormente sino la propiedad de tipo ergódico mencionada antes. Observar, no obstante, que este comportamiento supone una generalización natural de la noción de estabilidad de C0-semigrupos acotados a semigrupos integrados bajo la condición de crecimiento anterior. 2. PRINCIPALES RESULTADOS OBTENIDOS: En esta sección enunciamos los teoremas más relevantes obtenidos en la memoria. En primer lugar, presentamos los resultados que involucran a la transformada de Laplace de funciones con valores en un espacio de Banach arbitrario y sus aplicaciones en el estudio del comportamiento asintótico de familias de operadores. TASA DE DECRECIMIENTO DE ÓRBITAS ESTABLES Como se ha mencionado ya, uno de los métodos utilizados en el presente trabajo consiste en obtener conclusiones sobre el comportamiento en el infinito de C0-semigrupos de operadores a partir del estudio del comportamiento asintótico de ciertas funciones generales con valores vectoriales. En este contexto, resulta de interés encontrar nuevos resultados sobre la transformada de Laplace de tales funciones. Los resultados que se presentan en este apartado están motivados por las técnicas usadas por C. J. K. Batty and T. Duckaerts en [BD]. Sea e1(t) := exp(-t) para t ? R+. Denotamos por * al producto de convolución usual en R y por ?? al producto de convolución adjunto al usual. TEOREMA 2.1.1 Sea X un espacio de Banach y sea f ? L^{?}(R+;X). Suponer que existe una función continua ?: (0, ?) ? (0, ?) tal que: (i) La tranformada de Laplace de f tiene una extensión analítica a la región ??{z?C:Rez>-?(|Imz|^(-1))} y está acotada por ?(|Imz|) en los z de ? con parte real negativa. (ii) ? es decreciente en (0, 1] y creciente en [1, ?). Entonces, existen constantes positivas C y ? tales que para todo t > ?, ?(e1-e1*e1)? f(t)? ? C(m_log^(-1) (t/4) + 1/(M_log^(-1) (t/4)) + 1/t ) donde M_log (x)??(x)log((1+?(x))(1+x)), x?1, m_log (x)??(x)log((1+?(x))/x), 0
