Resumen de Una revisión de la historia del descubrimiento de las geometrías no euclidianas
El geómetra griego Euclides empieza sus Elementos con una lista de 23 definiciones, 5 reglas lógicas, and 5 postulados. El postulado 5 se refiere a las rectas paralelas aquellas “líneas rectas que están en el mismo plano y al prolongarse indefinidamente en ambas direcciones, no se cortan”. El quinto postulado establece que: “Si una recta corta a otras dos y forma con ellas de un mismo de sus lados dos ángulos internos que suman menos dos restos, entonces las dos rectas si se prolongan indefinidamente se corta del lado en el que los ángulos dieron menos de dos rectos”. El “problema del quinto postulado” consiste en demostrar que este postulado es una consecuencia de los otros cuatro postulados de los Elementos. Como este postulado es equivalente “a la existencia y unicidad de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ella”, también se lo conoce como el “problema de la teoría de las paralelas”. Desde Euclides, muchos matemáticos han tratado de probar el quinto postulado. Posidonio intento resolver el problema en la primera centuria del siglo I d.C., cuando el confundió líneas equidistantes con líneas paralelas. El problema del quinto postulado fue resuelto negativamente al final del siglo XIX. La pruebe definitiva es atribuida Beltrami en su trabajo Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea [1868]. En este trabajo, Beltrami estudia una “superficie” dada por un disco de radio 1 dotado de un elemento de longitud de arco con curvatura constante negativa. De esta manera obtiene una geometría que satisface los postulados de Euclides excepto el quinto. Esta geometría es llamada no-euclidiana. En este trabajo revisamos la historia de este descubrimiento atribuido a Gauss, Bolyai y Lobatchevski. En clara analogía con la geometría esférica, Lambert en su Theorie der Parallellinien [1786] dice que en una “esfera imaginaria” la suma de los ángulos de un triángulo debería ser menor que ?. Analizamos el papel jugado por esta esfera imaginaria en el desarrollo de la geometría no-euclidiana, y como sirvió a Gauss de guía. Más precisamente, analizamos un momento crucial en la historia del descubrimiento de la geometría no-euclidiana: la lectura que Gauss hizo del Apéndice de Bolyai en 1832, cinco años después de la publicación de Disquisitiones generales circa superficies curvas, bajo la suposición de que este trabajo esta investigación en los fundamentos de la geometría fue motivado por la búsqueda, entre las superficies del espacio, de la hipotética esfera imaginaria de Lambert. Desde este punto de vista, hemos podido responder algunas preguntas naturales a cerca de la historia de la geometría no-euclidiana; por ejemplo: 1. ¿Qué enfoque siguió Bolyai en el Apéndice? 2. ¿Por qué Gauss después de leer el Apéndice decidió no escribir nada sobre su descubrimiento de la geometría no-euclidiana? 3. ¿Qué relación existe entre las cantidades imaginarias y el problema de la teoría de las paralelas?
