Resumen de Singular integral operators on sobolev spaces on domains and quasiconformal mappings

Martí Prats Soler

• En aquesta tesi s’obtenen nous resultats sobre l’acotació d’operadors de Calderón-Zygmund en espais de Sobolev en dominis de Rd. En primer lloc es demostra un teorema de tipus T(P) vàlid per a Wn,p(U), a on U és un domini uniforme acotat de Rd, n és un nombre natural arbitrari, i p>d. Essencialment, el resultat obtingut afirma que un operador de Calderón-Zygmund de convolució és acotat en aquest espai si i solament si per a tot polinomi P de grau menor que n restringit al domini, T(P) pertany a Wn,p(U). Per a índexs p menors o iguals que d, es demostra una condició suficient per a l'acotació en termes de mesures de Carleson. En el cas n=1 i p<=d, es comprova que aquesta caracterització en termes de mesures de Carleson és també una condició necessària. El cas en què n és no enter i 02. La darrera aportació de la tesi és l'aplicació dels resultats anteriorment descrits a l'estudi de la regularitat de l'equació de Beltrami que satisfan les aplicacions quasiconformes. Essencialment, es demostra que si el coeficient de Beltrami pertany a l'espai Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla complex amb parametritzacions de la frontera en un cert espai de Besov i p>2, llavors l'aplicació quasiconforme associada està en l'espai Wn,p(U).