Resumen de Densificabilidad: caracterizaciones, extensiones y aplicaciones
En 1997, G. Mora y Y. Cherruault generalizaron el concepto de continuo de Peano, introduciendo el concepto de curva alfa-densa. Una curva en un espacio métrico alfa-densa si cualquier punto arbitrario del espacio se encuentra a una distancia no superior a alfa de algún punto de la curva.
Las parametrizaciones de la curvas alfa-densas puede ser fáciles de obtener y tener propiedades deseables. En el caso del hipercubo unidad, pueden utilizarse gráficas de funciones trigonométricas o incluso polinomios de Chebyshev, de manera que cada parametrización es inyectiva y analítica.
Si un espacio métrico posee curvas alfa-densas para cualquier alfa positivo y arbitrariamente pequeño, podemos elegir una curva de curvas alfa-densas, con alfa tendiendo a cero y resolver problemas de optimización global en este espacio resolviéndolos sobre esta sucesión de curvas, de manera que el problema queda reducido a un problema unidimensional. Los espacios métricos que reúnen la propiedad susodicha pasaron a llamarse densificables.
Esta es sólo una de las tantas aplicaciones posibles de las curvas alfa-densas en espacios densificables. Por ejemplo, curvas alfa-densas se pueden utilizar para reducir el número de variables en problemas de integración y en desigualdades.
Claramente, para poder aplicar cualquiera de estos métodos a un problema particular, debemos saber de antemano si el espacio en cuestión es densificable.
Nuestros objetivos principales son:
1) Caracterizar los espacios métricos densificables mediante propiedades topológicas y métricas intrínsecas, pretendiendo obtener una caracterización completa como la obtuvieron H. Hahn y S. Mazurkiewicz para los continuos de Peano.
2) Extender el concepto de densificabilidad a una clase más amplia de espacios, pretendiendo obtener una definición de densificabilidad en espacios topológicos en general.
3) Encontrar nuevos tipos de problemas multidimensionales que puedan ser simplificados utilizando curvas alfa-densas, como el cálculo de la dimensión logarítmica.
En el segundo capítulo, para realizar el estudio de los conjuntos densificables en espacios métricos, introducimos las nociones de pseudo-densificabilidad, aproximabilidad por caminos y aproximabilidad numerable por caminos, que proporcionan propiedades topológicas y métricas de dichos conjuntos.
En el tercer capítulo, extendemos el concepto de densificabilidad a espacios topológicos en general, introduciendo las nociones de densificabilidad condicional, secuencial y topológica. De esta manera, problemas de optimización global pueden ser simplificados aun en ausencia de una métrica. Además, probamos que una de estas extensiones es óptima, en el sentido que ninguna condición más débil permite la mencionada simplificación utilizando una sucesión prefijada de curvas. Asimismo, comparamos la densificabilidad topológica con la extensión de la densificabilidad ya existente a subconjuntos de espacios vectoriales topológicos. Introducimos la noción de densificabilidad lineal, que combina ventajas de ambos conceptos.
En el cuarto capítulo, introducimos las nociones de densificador y densificabilidad simple. Estos conceptos han permitido caracterizar la clase de subconjuntos densificables de los espacios euclídeos con interior no vacío.
En el quinto capítulo, presentamos una aplicación de la teoría de curvas alfa-densas al cálculo de la dimensión logarítmica.
Los nuevos conceptos introducidos en este trabajo han facilitado la comprensión de la propiedad de la densificabilidad. Hemos abierto un camino donde estimamos que se puede llegar a una caracterización de la densificabilidad en espacios métricos compactos.
Una cuestión de indudable interés topológico que se ha suscitado es la caracterización de los espacios topológicamente densificables, lo cual constituye una nueva vía de investigación científica.
