Design and Analysis of Multidimensional Data Structures

• Autores: Amalia Duch Brown
• Directores de la Tesis: Conrado Martínez Parra (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) ( España ) en 2007
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Luc Devroye (presid.) , Salvador Roura Ferret (secret.) , Ricardo Baeza Yates (voc.) , Pere Brunet Crosa (voc.) , Ralph Neininger (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: TDX
• Resumen

  • Aquesta tesi està dedicada al disseny i a lanàlisi destructures de dades multidimensionals, és a dir, estructures de dades que serveixen per emmagatzemar registres $K$-dimensionals que solen representar-se com a punts en lespai $[0,1]^K$. Aquestes estructures tenen aplicacions en diverses àrees de la informàtica com poden ser els sistemes dinformació geogràfica, la robòtica, el processament dimatges, la world wide web, el data mining, entre daltres.

    Les estructures de dades multidimensionals també es poden utilitzar com a indexos destructures de dades que emmagatzemen, possiblement en memòria externa, dades més complexes que els punts.

    Les estructures de dades multidimensionals han doferir la possibilitat de realitzar operacions dinserció i esborrat de claus dinàmicament, a més de permetre realitzar cerques anomenades associatives. Exemples daquest tipus de cerques són les cerques per rangs ortogonals (quins punts cauen dintre dun hiper-rectangle donat?) i les cerques del veí més proper (quin és el punt més proper a un punt donat?).

    Podem dividir les contribucions daquesta tesi en dues parts:

    La primera part està relacionada amb el disseny destructures de dades per a punts multidimensionals. Inclou el disseny darbres binaris $K$-dimensionals alleatoritzats (Randomized $K$-d trees), el darbres quaternaris alleatoritzats (Randomized quad trees) i el darbres multidimensionals amb punters de referència (Fingered multidimensional trees).

    La segona part analitza el comportament de les estructures de dades multidimensionals. En particular, sanalitza el cost mitjà de les cerques parcials en arbres $K$-dimensionals relaxats, i el de les cerques per rang en diverses estructures de dades multidimensionals.

    Respecte al disseny destructures de dades multidimensionals, proposem algorismes alleatoritzats dinserció i esborrat de registres per als arbres $K$-dimensionals i per als arbres quaternaris. Aquests algorismes produeixen arbres aleatoris, independentment de lordre dinserció dels registres i desprès de qualsevol seqüència dinsercions i esborrats. De fet, el comportament esperat de les estructures produïdes mitjançant els algorismes alleatoritzats és independent de la distribució de les dades dentrada, tot i conservant la simplicitat i la flexibilitat dels arbres $K$-dimensionals i quaternaris estàndard. Introduïm també els arbres multidimensionals amb punters de referència. Això permet que les estructures multidimensionals puguin aprofitar lanomenada localitat de referència en cerques associatives altament correlacionades.

    I respecte de lanàlisi destructures de dades multidimensionals, primer analitzem el cost esperat de las cerques parcials en els arbres $K$-dimensionals relaxats. Seguidament utilitzem aquest resultat com a base per a lanàlisi de les cerques per rangs ortogonals, juntament amb arguments combinatoris i geomètrics. Daquesta manera obtenim un estimat asimptòtic precís del cost de les cerques per rangs ortogonals en els arbres $K$-dimensionals aleatoris. Finalment, mostrem que les tècniques utilitzades es poden estendre fàcilment a daltres estructures de dades i per tant proporcionem una anàlisi exacta del cost mitjà de cerques per rang en estructures de dades com són els arbres $K$-dimensionals estàndard, els arbres quaternaris, els tries quaternaris i els tries $K$-dimensionals.

    ____________________________________________________________________________________________________ Esta tesis está dedicada al diseño y al análisis de estructuras de datos multidimensionales; es decir, estructuras de datos específicas para almacenar registros $K$-dimensionales que suelen representarse como puntos en el espacio $[0,1]^K$. Estas estructuras de datos tienen aplicaciones en diversas áreas de la informática como son: los sistemas de información geográfica, la robótica, el procesamiento de imágenes, la world wide web o data mining, entre otras.

    Las estructuras de datos multidimensionales suelen utilizarse también como índices de estructuras que almacenan, posiblemente en memoria externa, datos complejos.

    Las estructuras de datos multidimensionales deben ofrecer la posibilidad de realizar operaciones de inserción y borrado de llaves de manera dinámica, pero además deben permitir realizar búsquedas asociativas en los registros almacenados. Ejemplos de búsquedas asociativas son las búsquedas por rangos ortogonales (¿qué puntos de la estructura de datos están dentro de un hiper-rectángulo dado?) y las búsquedas del vecino más cercano (¿cuál es el punto de la estructura de datos más cercano a un punto dado?).

    Las contribuciones de esta tesis se dividen en dos partes:

    La primera parte está dedicada al diseño de estructuras de datos para puntos multidimensionales, que incluye el diseño de los árboles binarios $K$-dimensionales aleatorios (Randomized $K$-d trees), el de los árboles cuaternarios aleatorios (Randomized quad trees), y el de los árboles multidimensionales con punteros de referencia (Fingered multidimensional trees).

    La segunda parte contiene contribuciones al análisis del comportamiento de las estructuras de datos para puntos multidimensionales. En particular, damos el análisis del costo promedio de las búsquedas parciales en los árboles $K$-dimensionales relajados y el de las búsquedas por rango en varias estructuras de datos multidimensionales.

    Con respecto al diseño de estructuras de datos multidimensionales, proponemos algoritmos aleatorios de inserción y borrado de registros para los árboles $K$-dimensionales y los árboles cuaternarios que producen árboles aleatorios independientemente del orden de inserción de los registros y después de cualquier secuencia de inserciones y borrados intercalados. De hecho, con la aleatorización garantizamos un buen rendimiento esperado de las estructuras de datos resultantes, que es independiente de la distribución de los datos de entrada, conservando la flexibilidad y la simplicidad de los árboles $K$-dimensionales y de los árboles cuaternarios estándar. También proponemos los árboles multidimensionales con punteros de referencia, una técnica que permite que las estructuras de datos multidimensionales exploten la localidad de referencia en búsquedas asociativas que se presentan altamente correlacionadas.

    Con respecto al análisis de estructuras de datos multidimensionales, comenzamos dando un análisis preciso del costo esperado de las búsquedas parciales en los árboles $K$-dimensionales relajados. A continuación, utilizamos este resultado como base para el análisis de las búsquedas por rangos ortogonales, combinándolo con argumentos combinatorios y geométricos. Como resultado obtenemos un estimado asintótico preciso del costo de las búsquedas por rango en los árboles $K$-dimensionales relajados. Finalmente, mostramos que las técnicas utilizadas pueden extenderse fácilmente a otras estructuras de datos y por tanto proporcionamos un análisis preciso del costo promedio de búsquedas por rango en estructuras de datos como los árboles $K$-dimensionales estándar, los árboles cuaternarios, los tries cuaternarios y los tries $K$-dimensionales.

    ____________________________________________________________________________________________________ This thesis is about the design and analysis of point multidimensional data structures: data structures that store $K$-dimensional keys which we may abstract as points in $[0,1]^K$. These data structures are present in many applications of geographical information systems, image processing or robotics, among others. They are also frequently used as indexes of more complex data structures, possibly stored in external memory.

    Point multidimensional data structures must have capabilities such as insertion, deletion and (exact) search of items, but in addition they must support the so called {em associative queries}. Examples of these queries are orthogonal range queries (which are the items that fall inside a given hyper-rectangle?) and nearest neighbour queries (which is the closest item to some given point?).

    The contributions of this thesis are two-fold:

    Contributions to the design of point multidimensional data structures: the design of randomized $K$-d trees, the design of randomized quad trees and the design of fingered multidimensional search trees;

    Contributions to the analysis of the performance of point multidimensional data structures: the average-case analysis of partial match queries in relaxed $K$-d trees and the average-case analysis of orthogonal range queries in various multidimensional data structures.

    Concerning the design of randomized point multidimensional data structures, we propose randomized insertion and deletion algorithms for $K$-d trees and quad trees that produce random $K$-d trees and quad trees independently of the order in which items are inserted into them and after any sequence of interleaved insertions and deletions. The use of randomization provides expected performance guarantees, irrespective of any assumption on the data distribution, while retaining the simplicity and flexibility of standard $K$-d trees and quad trees.

    Also related to the design of point multidimensional data structures is the proposal of fingered multidimensional search trees, a new technique that enhances point multidimensional data structures to exploit locality of reference in associative queries.

    With regards to performance analysis, we start by giving a precise analysis of the cost of partial matches in randomized $K$-d trees. We use these results as a building block in our analysis of orthogonal range queries, together with combinatorial and geometric arguments and we provide a tight asymptotic estimate of the cost of orthogonal range search in randomized $K$-d trees. We finally show that the techniques used apply easily to other data structures, so we can provide an analysis of the average cost of orthogonal range search in other data structures such as standard $K$-d trees, quad trees, quad tries, and $K$-d tries.