Resumen de Aspectos geométricos del control disipativo de sistemas mecànicos y sistemas no holónomos
Francisco Javier Yániz Fernández
El tratamiento intrínseco de cuestiones relacionadas con la Teoría de Control no lineal a través de la aplicación de técnicas propias de la geometría diferencial ha sido en los últimos años un tema de interés para muy diversos grupos de investigación. Cuestiones como controlabilidad de sistemas, seguimiento y estabilización de trayectorias, planificación de movimientos, etc, han dado lugar a un gran número de trabajos obtenidos desde puntos de vista muy variados.
La línea en la que se desarrolla esta tesis es el estudio de la formulación y las propiedades geométricas de sistemas mecánicos y sistemas no holónomos y las consecuencias que para su control se derivan.
Se estudia, en primer lugar, la estabilidad de los sistemas mecánicos disipativos y parcialmente disipativos desde un punto de vista geométrico. Ya que el ambiente geométrico apropiado para llevar a cabo este estudio son las variedades de Riemann, lo primero que se aborda es la generalización de los teoremas de estabilidad y estabilidad asintótica de La Salle de puntos de equilibrio de sistemas dinámicos al caso de variedades de Riemann completas. Posteriormente esta generalización se amplia al caso de subvariedades de puntos de equilibrio.
Con las herramientas antes desarrolladas, se trata la estabilidad de los sistemas mecánicos simples no holónomos, es decir, aquellos en los que el espacio de configuración es una variedad de Riemann (Q,g), la Lagrangiana es de tipo mecánico y la subvariedad de ligaduras viene definida por una distribución D < TQ no integrable. Se generalizan también las propiedades de estabilidad al caso de sistemas lagrangianos cualesquiera.
Por medio de la aplicación de los resultados obtenidos para la estabilidad, se trata la estabilización por pasividad de los sistemas mecánicos con control. Este tipo de técnicas se diseñan para estabilizar puntos de equilibrio. También se trabaja el caso de sistemas parcialmente disipativos y se usan extensiones dinámicas para estabilizar el sistema en una configuración deseada. Para ello ha sido necesario interpretar geométricamente la noción de extensión dinámica. Se estudia la generalización de estos resultados a los sistemas mecánicos simples no holónomos con control, centrándose en el diseño de controles que permitan estabilizar un sistema en su variedad de puntos de equilibrio utilizando el control por pasividad o en una variedad prefijada mediante extensiones dinámicas.
Por otro lado, se analiza la equivalencia entre las ecuaciones de segundo orden que rigen la dinámica de los sistemas mecánicos y las ecuaciones del sistema cinemático asociado, primero en el caso de sistemas no holónomos con control y después en el de sistemas mecánicos con simetrías. En el primer caso si el sistema está completamente actuado se prueba que las curvas solución del sistema mecánico y las del sistema cinemático son las mismas. Si por el contrario es infractuado, hay que imponer una condición sobre las fuerzas exteriores para asegurar la equivalencia débil. En el segundo caso se reduce la dinámica del sistema a la de un sistema no holónomo y se aplican los teoremas de equivalencia del caso anterior.
Finalmente, se estudia si mediante la reducción de la formulación de contacto para sistemas lagrangianos dependientes del tiempo que poseen una simetría infinitesimal, se obtiene otro sistema lagrangiano sobre una variedad adecuada. También se trabaja esta situación en el caso de sistemas no holónomos lagrangianos dependientes del tiempo con simetría.
