Problemas de homogeneización con alto contraste

• Autores: Antonio Jesús Pallares Martín
• Directores de la Tesis: Juan Casado Díaz (dir. tes.) , Marc Briane (codir. tes.) , Manuel Luna Laynez (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2016
• Idioma: español
• Número de páginas: 164
• Tribunal Calificador de la Tesis: Enrique Fernández Cara (presid.) , Tomás Caraballo Garrido (secret.) , Patrizia Donato (voc.) , Andrea Braides (voc.) , Francisco Ortegón Gallego (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • El objetivo de esta tesis es estudiar la homogeneización de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales elípticas. Principalmente, proporcionamos condiciones de integrabilidad sobre los coeficientes del sistema que nos permitan tener un resultado de homogeneización local. En el caso de ecuaciones, se sabe que es suficiente que los coeficientes estén acotados en L^1 y sean equiintegrables para dimensiones mayores que 2 y solo acotación en L^1 para dimensión 2. Sin embargo, estos resultados se basan en el principio del máximo, resultado que no es cierto para sistemas. Por tanto, para poder abordar este problema necesitamos usar otras técnicas y herramientas. Otro problema interesante en el marco de la homogeneización es la posibilidad de deducir ciertas propiedades de los problemas límite, una cuestión que también tratamos en la última parte de la tesis. Esta tesis está dividida en 4 capítulos:

    En el Capítulo 1 consideramos un sistema elíptico lineal de M ecuaciones en derivadas parciales en el que los coeficientes no están acotados uniformemente ni son uniformemente coercitivos. Suponemos acotación de los coeficientes en cierto espacio L^p y una condición de coercitividad integral sobre los mismos. Recordamos que la coercitividad integral y la coercitividad puntual no son equivalentes en el caso de sistemas. Nuestras hipótesis nos permiten aplicar los resultados obtenidos al sistema de la elasticidad. Además, aunque no suponemos que los tensores de coeficientes son simétricos, puesto que hacemos usos de algunas herramientas propias de la teoría de la Gamma-convergencia, necesitamos controlar de forma uniforme la parte antisimétrica de los tensores de coeficientes por su parte simétrica. Para probar el resultado usamos una generalización del lema del div-rot de Murat-Tartar.

    En el Capítulo 2 consideramos el caso de los sistemas elípticos no lineales. Para ello, estudiamos el Gamma-límite de una sucesión de funcionales no lineales definidos sobre funciones vectoriales. Por simplificar, en este caso sí imponemos una condición de elipticidad débil uniforme sobre los coeficientes. En este marco, la no linealidad del problema nos impide usar la extensión del lema del div-rot que empleamos en el Capítulo 1. En cambio, nuestros resultados se apoyan en otra extensión del lema del Div-Rot y, más concretamente, en un lema de compacidad por compensación para sucesiones acotadas en W^{1,q}, mejorando ligeramente el resultado del Capítulo 1. También cabe destacar que las hipótesis de este capítulo no implican la convexidad de las energías con respecto a su segunda variable. En este capítulo también mostramos algunas aplicaciones que incluyen algunos materiales hiperelásticos.

    En el Capítulo 3 estudiamos el problema de homogeneización para el sistema de elasticidad con coeficientes no acotados cuando el dominio está siendo reducido a una dimensión. En concreto, consideramos el sistema de la elasticidad lineal en una barra cuyo grosor está tendiendo a 0. En este capítulo también consideramos el caso en el que los coeficientes no están uniformemente acotados. Obtenemos un resultado de homogeneización que nos lleva a un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias en el intervalo (0,1), permitiéndonos obtener una aproximación de las soluciones del tipo de Bernouilli-Navier que también contiene un término de torsión.

    En el capítulo 4, nos centramos en la homogeneización por medio de Gamma-convergencia de energías integrales débilmente coercitivas con densidades cuadráticas con coeficientes dados por una función tensorial simétrica periódica. En primer lugar, generalizamos los resultados existentes que dan condiciones sobre el tensor de coeficientes para que se tenga el resultado de homogeneización de dichas energías. El resultado más clásico afirma que si el tensor de coeficientes es muy fuertemente elíptico, entonces la homogeneización es directa. Nosotros estudiamos este problema solo bajo la hipótesis de elipticidad fuerte. Ya ha sido probado que, en este marco, se tiene el resultado de homogeneización (por medio de Gamma-convergencia) suponiendo que la constante de coercitividad funcional clásica del tensor es no negativa y que la constante de coercitividad funcional periódica es positiva. En este capítulo obtenemos una mejora de este resultado y probamos que, de hecho, es suficiente que la constante de coercitividad funcional clásica del tensor sea no negativa. Además, siguiendo las ideas del resultado existente para dimensión 2, mostramos varios ejemplos en dimensión 3 para los que el anterior resultado se aplica. En segundo lugar, analizamos la pérdida de elipticidad fuerte a través de la homogeneización en el caso de la elasticidad lineal en dimensión 3. Hacemos un estudio exhaustivo del proceso de laminación en dos pasos llevado a cabo por S. Gutiérrez y la damos justificación en términos de Gamma-convergencia, haciendo uso del resultado obtenido en la parte anterior del capítulo.