Resumen de Conjuntos de unicidad para ecuaciones en derivadas parciales clásicas
Francisco Canto Martí
Esta memoria se encuadra dentro del estudio de los conjuntos de unicidad para ecuaciones en derivadas parciales lineales en el plano. El an¿alisis de dos problemas conforma su n¿ucleo. El primero de ellos consiste en cuantificar el cambio que experimenta la multiplicidad de una familia de conjuntos dada cuando el par¿ametro que la describe supera cierto valor cr¿¿tico. El segundo consiste en determinar la estructura de un conjunto de unicidad fijo, en el sentido de conocer la multiplicidad de los conjuntos obtenidos al eliminar elementos del conjunto de unicidad inicial. El estudio de estas cuestiones generales en el marco espec¿¿fico de la ecuaci¿on de Klein-Gordon unidimensional permite establecer un fuerte v¿¿nculo entre la teor¿¿a de ecuaciones en derivadas parciales, la teor¿¿a de operadores y la teor¿¿a de sistemas din¿amicos.
Dada una ecuaci¿on en derivadas parciales lineal y un subespacio S de soluciones, posiblemente en sentido generalizado, un conjunto de unicidad L para S viene determinado por la propiedad de que la condici¿on f = 0 en L para un elemento f de S implica que f sea id¿enticamente nula. La multiplicidad de un conjunto de no unicidad L es la dimensi¿on del espacio de elementos de S que se anulan en L. El principal hecho a destacar es que los elementos de S est¿an determinados por los valores que toman en un conjunto de unicidad. Esto convierte a los conjuntos de unicidad en una herramienta te¿orica de gran valor para la descripci¿on de soluciones a ecuaciones en derivadas parciales cuando se dispone de cierto conocimiento previo acerca de ellas. Inicialmente motivados por la formulaci¿on anal¿¿tica del principio de incertidumbre de Heisenberg, Hedenmalm y Montes Rodr¿¿guez introdujeron en [1] el concepto de par de unicidad de Heisenberg, el cual se ha convertido en un marco unificador para la investigaci¿on de conjuntos de unicidad para ecuaciones en derivadas parciales cl¿asicas en el plano y constituye el principal objeto de estudio de la presente memoria.
Definici¿on (Par de unicidad de Heisenberg). Sea G una uni¿on finita y disjunta de curvas suaves en el plano R2 y L un subconjunto del plano. Sea AC(G;L) el espacio de las medidas de Borel complejas m en el plano con soporte en G, absolutamente continuas con respecto a la medida longitud de arco y cuya transformada de Fourier bm(x1;x2) = Z G eip(x1y1+x2y2) dm(y1;y2); (x1;x2) 2 R2; se anula en L. Se dice que (G;L) es un par de unicidad de Heisenberg cuando AC(G;L) = f0g.
1 Cuando G es una curva algebraica, esto es, el conjunto de ceros de un polinomio p en dos variables con coeficientes reales, la condici¿on de que el soporte de m est¿e contenido en G significa que su transfomada de Fourier bm, que es una funci¿on continua en el plano, es una soluci¿on a la ecuaci¿on en derivadas parciales lineal p ¶x1 pi ; ¶x2 pi f = 0; (1) en el sentido distribucional. As¿¿, el estudio de los pares de unicidad de Heisenberg para curvas algebraicas G definidas por p es equivalente al estudio de los conjuntos de unicidad para ecuaciones en derivadas parciales lineales en el plano de la forma (1) con respecto a un espacio fijo S: el formado por las transformadas de Fourier de las medidas de Borel complejas en el plano con soporte contenido en G y absolutamente continuas respecto a la medida longitud de arco. En este contexto, la multiplidad de un conjunto de no unicidad L es la dimensi¿on de AC(G;L). Varias interesantes extensiones de la noci¿on de par de unicidad de Heisenberg son posibles pero, motivado por el citado trabajo conjunto de Hedenmalm and Montes Rodr¿¿guez, esta memoria se centra exclusivamente en un caso particular correspodiente a curvas algebraicas. En efecto, el caso en que G es la hip¿erbola x1x2 = 1 y L es el ret¿¿culo La;b = (aZf0g)[(f0gbZ), con a;b > 0, fue considerado en [1], donde se obtiene el siguiente resultado.
Teorema A (Hedenmalm, Montes-Rodr¿¿guez). Sea G la hip¿erbola x1x2 = 1. Entonces (G;La;b ) es un par de unicidad de Heisenberg si y s¿olo si ab 1.
Este caso corresponde a la ecuaci¿on de Klein-Gordon unidimensional para una part¿¿cula de masa p en unidades naturales, (¶ 2 x1 ¿¿¶ 2 x2 +p2) f = 0: (2) De este modo, Teorema A proporciona una familia de conjuntos de unicidad para la ecuaci¿on de Klein-Gordon (2). Pero el principal hecho destacable reside en el m¿etodo de prueba, basado en resultados profundos de la teor¿¿a de sistemas din¿amicos. Teorema A ha sido nuestro punto de partida para el presente trabajo, donde dos problemas referentes a la multiplicidad de conjuntos de no unicidad para la ecuaci¿on de Klein-Gordon han sido considerados. El primero de ellos busca determinar la dimensi¿on de AC(G;La;b ) cuando ab >1 como modo de medir la transici¿on del caso de unicidad ab 1 al caso de no unicidad. La soluci¿on es el siguiente resultado, cuya prueba forma el n¿ucleo del tercer cap¿¿tulo y est¿a basada en los resultados presentados en los dos cap¿¿tulos precedentes, dedicados al an¿alisis de ciertos aspectos de la teor¿¿a de sistemas din¿amicos unidimensionales, en concreto a la teor¿¿a de operadores de Perron-Frobenius asociados a transformaciones regulares a trozos de un intervalo.
Teorema . Sea G la hip¿erbola x1x2 =1 en R2 y sea La;b el ret¿¿culo (aZf0g)[(f0gbZ), donde a;b son n¿umeros reales positivos. Entonces AC(G;L) tiene dimensi¿on infinita cuando ab > 1.
La existencia de un espacio de dimensi¿on infinita de soluciones a la ecuaci¿on de Klein-Gordon unidimensional, en sentido distribucional, que se anulan en La;b implica una transici¿on dr¿astica del caso de unicidad ab 1 al de no unicidad ab > 1. Una cuantificaci¿on de este cambio se obtiene a partir de un an¿alisis espectral de un operador de Perron-Frobenius asociado. En el segundo problema se considera el caso cr¿¿tico ab = 1 y se busca determinar la dimensi¿on de AC(G;La;b nX), donde X es un subconjunto finito del ret¿¿culo La;b , como modo de comprender la estructura del conjunto de 2 unicidad La;b . El siguiente es el principal resultado en esta direcci¿on y a su prueba est¿a dedicado enteramente el cap¿¿tulo cuarto.
Teorema . Sea G la hip¿erbola x1x2 = 1 en R2 y sea La;b el ret¿¿culo (aZf0g) [ (f0gbZ), donde a;b son n¿umeros reales positivos. Entonces la dimensi¿on de AC(G;La;b nf(0;0)g) es igual a uno cuando ab = 1.
Se obtiene de este modo la existencia de un espacio de dimensi¿on uno de soluciones a la ecuaci¿on de Klein-Gordon unidimensional, en sentido distribucional, que se anulan en La;b nf(0;0)g, con ab = 1. En conjunci¿on con Teorema A este resultado sugiere que el ret¿¿culo La;b es un conjunto de unicidad para la ecuaci¿on de Klein-Gordon que es minimal, en el sentido de que la acci¿on de sustraerle un punto lo transforma en un conjunto de no unicidad de multiplicidad uno. Debemos decir que este resultado es s¿olo una peque¿na pieza de uno general que s¿olo hemos sido capaces de probar cuando nos restringimos al espacio de soluciones formado por las transformadas de Fourier de las medidas con soporte en la rama derecha de la hip¿erbola, y que tambi¿en se incluye en el cap¿¿tulo cuarto.
A trav¿es de la soluci¿on a estos dos problemas, cuestiones naturales en el estudio de conjuntos de unicidad en este y otros contextos, como el an¿alisis de la convergencia puntual de series trigonom¿etricas, esta memoria intenta profundizar en esta conexi¿on entre conjuntos de unicidad para ecuaciones en derivadas parciales cl¿asicas y sistemas din¿amicos puesta de manifiesto en [1].
Bibliograf¿¿a reducida [1] Hedenmalm, H., Montes-Rodr¿¿guez, A. Heisenberg uniquenes pairs and the Klein-Gordon equation. Ann. of Math. (2) 173 (2011), 1-21.
