Operadores que preservan ortogonalidad y homomorfismos ternarios

• Autores: Jorge J. Garcés
• Directores de la Tesis: Antonio Miguel Peralta Pereira (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2013
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Jesús Araujo Gómez (presid.) , Francisco José Fernández Polo (secret.) , Timur Oikhberg (voc.) , Ngai-Ching Wong (voc.) , Leslie J. Bunce (voc.)
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• Resumen

  • La presente tesis doctoral se ha realizado como un compendio de nueve publicaciones e incluye sendas introducciones en inglés y español, así como todas las publicaciones como anexo.

    En uno de los primeros trabajos obtenemos una descripción completa de operadores continuos que preservan ortogonalidad entre C*-álgebras y JB*-álgebras, generalizando varias respuestas parciales obtenidas por Arendt (1983), Wolff (1994), Wong (2005). Una vez obtenida dicha caracterización, nos hemos ocupado del problema de la continuidad automática de los operadores sobreyectivos que preservan ortogonalidad en ambas direcciones entre C*-álgebras, álgebras de von Neumann, JB*- y JBW*-álgebras y JB*-triples. Era conocido que todo operador entre C*-álgebras abelianas que preserva ortogonalidad en ambas direcciones es automáticamente continuo (Jarosz, 1990). La cuestión era si esto seguiría siendo cierto al considerar operadores que preservan ortogonalidad entre C*-álgebras no necesariamente abelianas. Cuando comenzamos a trabajar en este problema no se sabía prácticamente nada en el caso general. En un trabajo publicado en el Journal of Mathemacical Analysis and applications, damos una respuesta afirmativa para las álgebras de Von Neumann y las C*-álgebras compactas. Más tarde, en otro artículo (publicado en Studia Mathematica), generalizamos dicho resultado para el caso de los JB*-triples débilmente compactos y atómicos. Estos resultados resuelven, parcialmente, una conjetura de Araujo y Jarosz del año 2003.

    En 1948 I. Kaplansky, demostró que todo homomorfismo algebraico desde una C*-algebra abeliana a un álgebra de Banach está acotado inferiormente. Este resultado fue generalizado con posterioridad al ambiente de las C*-álgebras y las JB*-algebras por Cleveland (1963), Rodríguez Palacios (1990) y Hejazian y Niknan (1998), respectivamente. Considerando unas hipótesis mucho más fuertes, Bouhya y Fernández López demostraron que el resultado sigue siendo cierto para triples homomorfismos continuos desde un JB*-triple a un Sistema Triple de Jordan-Banach. Nosotros hemos demostrado que el resultado es cierto sin asumir hipótesis de continuidad (el trabajo ha sido publicado en los Proceedings de la American Mathematical Society). Este resultado es pieza indispensable para estudiar los operadores débilmente compactos que preservan ortogonalidad entre C*-álgebras, cuya descripción hemos obtenido en un trabajo aparecido en Mathematische Zeitschrift.

    Actualmente seguimos trabajando en problemas relacionados con la continuidad automática de ciertas aplicaciones lineales. En 1987 Johnson da ciertas condiciones (sobre el dominio y/o el codominio) bajo las cuales una aplicación lineal entre álgebras de Banach que casi preserva el producto (homomorfismo generalizado) es automáticamente continua. En un trabajo, en colaboración con Antonio M. Peralta, generalizamos algunos de los resultados de Johnson para triples homomorfismos generalizados y derivaciones ternarias generalizadas. Más concretamente, probamos (entre otros resultados) que todo triple homomorfismo generalizado entre JB*-triples es automáticamente continuo y que toda derivación ternaria de un JB*-triple en sí mismo (o en su dual) es automáticamente continua. Estos resultados generalizan también algunos resultados clásicos de continuidad automática de triples homomorfismos así como los resultados de continuidad automática de derivaciones ternarias obtenidos recientemente por Antonio M. Peralta y B. Russo. Este trabajo aparece en un número del Canadian J. Math.

    También hemos trabajado en problemas relacionados con los operadores que preservan ortogonalidad entre C*-álgebras reales abelianas. El Teorema de Goldstein da una descripción de las formas sesquilineales ortogonales sobre C*-álgebras (complejas). Este resultado demostró ser de gran utilidad para el estudio de los operadores que preservan ortogonalidad entre C*-álgebras (como se puede comprobar en aquellos donde damos un descripción completa del los mismos). En un trabajo, junto con Antonio M. Peralta, hemos conseguido describir las formas bilineales ortogonales sobre C*-álgebras reales abelianas. En este mismo trabajo describimos también las aplicaciones lineales que preservan ortogonalidad entre C*-algebras reales y abelianas, probando además que toda biyección lineal entre C*-álgebras reales abelianas que preserva ortogonalidad en ambas direcciones es automáticamente continua. Queda abierto el problema de estudiar las formas bilienales ortogonales (así como los operadores que preservan ortogonalidad) entre C*-algebras reales no necesariamente abelianas. Estos resultados aparecen en un reciente trabajo en Linear and Multilinear Algebra.

    Actualmente nos planteamos una nueva línea de investigación, relacionada con el estudio de los triples homomorfismos y las derivaciones ternarias locales en módulos triples. Planteamos generalizar los resultados de R. Kadison y B. E. Johnson (también Shulman, E. Samei) que afirman que toda derivación ternaria local de una C*-álgebra A en un A-bimódulo es una derivación. Se ha generalizado los resultados de Kadison, Johnson Mackey al demostrar que toda derivación triple local sobre una C*-álgebra unital es una derivación triple, resultado aceptado para su publicación en Comm. in Algebra.