Resumen de Renormamiento en espacios de Banach
La Tesis está compuesta por un capítulo introductorio y cuatro capítulos que pasamos a describir.
El Capítulo 2 contiene un análisis de las funciones que son posiblemente módulo de convexidad (m.c.) para un espacio de Banach uniformemente convexo (UC). Se muestra que las funciones m.c. están caracterizadas, salvo equivalencia, por ciertas propiedades clásicas de éstas.
En el Capítulo 3, se estudia la noción de m.c. de una función convexa definida en un espacio de Banach. Éste es el primer trabajo con resultados generales y completos en espacios de Banach. Se muestra que un espacio es superreflexivo sii admite una función (UC) definida en todo el espacio.
En el Capítulo 4 se resuelve un problema establecido por Godefroy y Zizler; un espacio de Banach superreflexivo con base de Schauder admite una norma (UC) que hace monótona a la base. Se obtienen mejoras de estimaciones de James y Gurari.
En el Capítulo 5 el autor estudia la noción del módulo de cuadratura. Éste permite reconocer la (UC) y la suavidad uniforme. El autor define la versión local, y prueba varias caracterizaciones del comportamiento puntual de la norma.
Abstract:The thesis consists of one introductory chapter and four chapters containing original mathematical results. Let us pass to a brief description of the main results.
Chapter 2 contains an analysis of the possible modulus of rotundity functions (m.r.f) for a given uniformly rotund (UC) Banach space. It is shown that m.r.f. are characterized, up to equivalence, by certain classical properties of them.
In Chapter 3, the notion of m.r. for a convex function defined on a Banach space is studied. This seems to be the first instance of rather complete general results on Banach spaces. It is shown that a Banach space is superreflexive iff it admits a (UC) function defined on the whole space.
In Chapter 4 a problem asked by Godefroy and Zizler is solved; a superreflexive Banach space with Schauder basis can be renormed by (UC) norm which makes the given basis monotone. An improvement of a result of Gurarii is an immediate corollary.
In Chapter 5 the author studies the notion of modulus of squareness. It allows to recognize (UC) and uniform smoothness. The author succeeds to define the local version, and proves various characterizations of pointwise behaviour of the norm.
