Resumen de Caracterización del conocimiento especializado del profesor de matemáticas: un estudio de casos
Nielka Rojas
CARACTERIZACIÓN DEL CONOCIMIENTO ESPECIALIZADO DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS: UN ESTUDIO DE CASOS Uno de los problemas principales en la actualidad, en la línea de Formación de Profesores de Matemáticas, es estudiar el conocimiento profesional del profesorado. Esta línea de investigación se interesa fundamentalmente por analizar la naturaleza del conocimiento profesional del profesor de matemáticas, estudiar las características que lo conforman y examinar el grado de conocimiento matemático que tienen y han de tener los profesores para desarrollar su tarea docente. La preocupación principal de esta investigación es avanzar en la caracterización del conocimiento especializado del profesor de matemáticas, especialmente profundizar en la comprensión del conocimiento que pone en juego el profesor al enseñar un contenido matemático.
Considerando que la problemática es amplia y compleja, aproximarse a ella a través de estudios en profundidad (estudio de caso), permite ahondar en nuestra comprensión de cómo los profesores utilizan su conocimiento en la enseñanza y qué conocimientos se activan al enseñar un contenido. Hemos delimitado el problema de investigación centrándonos en comprender la especificidad del conocimiento de dos profesores expertos de matemáticas, al enseñar el tema de los números racionales.
Los profesores expertos se caracterizan por tener un mayor nivel de conocimientos, por ser capaces de estructurar la enseñanza y los procesos de aprendizaje de manera efectiva y orientada a los objetivos, por lo que pueden aportar mayor información del conocimiento en la práctica. Hemos elegido un contenido importante, los números racionales, que se comienzan a estudiar en los primeros niveles escolares y se prolonga a lo largo de los niveles de la escolaridad secundaria, siendo un contenido complejo en su enseñanza, por tanto interesante para profundizar en cómo los docentes lo organizan y qué conocimiento ponen en juego al enseñarlo.
El objetivo general que guía el estudio es describir, identificar y caracterizar el conocimiento especializado que manifiesta un profesor de Educación Primaria y un docente de Educación Secundaria, al enseñar el contenido matemático de los números racionales. Este objetivo se sintetiza en los siguientes seis objetivos específicos: O1: Identificar qué componentes del conocimiento matemático especializado para la enseñanza pone en juego un profesor experto de Educación Primaria al enseñar el contenido de los números racionales.
O2: Identificar qué componentes del conocimiento matemático especializado para la enseñanza pone en juego un profesor experto de Educación Secundaria al enseñar el contenido de los números racionales.
O3: Avanzar en la comprensión del conocimiento matemático especializado de un profesor experto de Educación Primaria al enseñar el contenido de los números racionales.
O4: Avanzar en la comprensión del conocimiento matemático especializado de un profesor experto de Educación Secundaria al enseñar el contenido de los números racionales.
O5: Avanzar en la caracterización de los subdominios del modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas.
O6: Establecer indicadores y subcategorías de conocimiento referentes al contenido matemático escolar de los números racionales.
Con los objetivos específicos O1, O2, O3 y O4 se pretende identificar, profundizar y comprender el conocimiento matemático especializado, que manifiestan dos profesores al enseñar el tema de los números racionales. A partir de la comprensión del conocimiento de los profesores, proyectamos profundizar en la caracterización del modelo teórico de conocimiento especializado del profesor, empleado en el estudio, lo que corresponde a los objetivos O5 y O6, buscando avanzar en la caracterización del modelo y establecer subcategorías de conocimiento referentes al contenido de los números racionales.
MARCO CONCEPTUAL Desarrollamos tres ideas centrales, que tienen el propósito de dar a la investigación un sistema coordinado y coherente de fundamentos, que permitan abordar nuestro problema de investigación. Primero profundizamos sobre el conocimiento profesional del profesor de matemáticas, partiendo de los trabajos de Shulman (1986; 1987), hasta llegar a definir el modelo «Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK)», que surge de los avances y propuestas realizados en el grupo SIDM, de la Universidad de Huelva, basándose en distintos modelos del conocimiento profesional del profesor (Ball, 2000; Hill, Ball y Schilling, 2008; Rowland, Huckstep y Thwaites, 2005; Shulman, 1986). El MTSK avanza en una reformulación desde una perspectiva que entiende todo el conocimiento del profesor como especializado (Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013).
El modelo MTSK adopta una perspectiva y proporciona una herramienta para profundizar en el conocimiento que un docente posee, declara o muestra al enseñar. En este modelo MTSK se distinguen dos grandes dominios de conocimiento: (a) conocimiento del contenido matemático (MK) y (b) conocimiento didáctico del contenido (PCK), proponiendo una división de cada uno de ellos en tres subdominios específicos. El MK está compuesto por tres subdominios. El conocimiento de los temas (KoT) incluye el conocimiento de la matemática como disciplina (la matemática escolar también está incluida en este subdominio), así como lo relativo a su fundamentación teórica y los procedimientos, estándar y alternativos, o las distintas formas de representación de un contenido. El conocimiento de la estructura de las matemáticas (KSM) hace referencia a la estructura de la materia, incluyendo el conocimiento de las principales ideas y de las estructuras de la disciplina. El conocimiento de las prácticas matemáticas (KPM) corresponde al conocimiento del modo de proceder en matemáticas. Incluye el conocimiento de las formas de conocer y crear o producir en matemáticas, el razonamiento y la prueba, saber definir, etc.
El PCK está compuesto por tres subdominios de conocimiento, que abarcan, principalmente, aspectos de la enseñanza y del aprendizaje de un contenido matemático y consideraciones curriculares. El conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas (KFLM) responde a la necesidad del profesor de conocer el modo de pensar del alumno relacionado con las tareas matemáticas. El conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT), es un conocimiento que permite al profesor elegir una determinada representación o un material para el aprendizaje de un concepto, un procedimiento matemático o una tarea matemática, etc. El conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas (KMLS) comprende los contenidos y orientaciones propuestas en las normativas curriculares, además incluye conocer los objetivos y estándares de aprendizaje más allá de los que provienen del entorno institucional del profesor. En el centro del modelo se incluyen las creencias que el profesor tiene acerca de la matemática y sobre su enseñanza y aprendizaje, como dimensión que impregna el conocimiento del docente. No obstante, las creencias de los profesores no son objeto de atención en este trabajo.
Para comprender el conocimiento matemático implicado en la práctica, surge la necesidad de diseñar herramientas que permitan la identificación de conocimiento de una manera operativa. Para ello, establecemos una relación teórica entre el análisis didáctico y el modelo de conocimiento MTSK. El análisis didáctico se fundamenta en los trabajos desarrollados por el grupo «FQM193. Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico» del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada (Gómez, 2007; Lupiáñez, 2009; Rico, 1997a; Rico 1997b; Rico, Lupiáñez y Molina, 2013).
En este trabajo empleamos el análisis didáctico con fines formativos e investigativos. Realizar un análisis didáctico de los números racionales, como contenido matemático de enseñanza primaria y secundaria, permite al investigador profundizar en este contenido matemático escolar, desde el ámbito matemático y de la enseñanza. A su vez, el análisis didáctico ha constituido una herramienta investigativa, que lleva a disponer de un referente amplio para identificar dominios del conocimiento especializado del profesor de matemáticas, a partir de la observación de la práctica. Para esta identificación se han relacionado los elementos que componen el análisis didáctico y los subdominios del modelo de MTSK (Rojas, Flores y Ramos, 2013). De la relación establecida surgen indicadores de conocimiento (establecidos a priori y deductivamente). El sistema de indicadores constituye una herramienta conceptual y operacional que facilita el análisis de la información y su posterior interpretación.
Para precisar las características de los sujetos informantes del estudio, hemos identificado características que distinguen a los docentes expertos. Para ello, examinamos una variedad de estudios que identifican características para reconocer a los docentes de matemáticas que se diferencian del común de los profesores (Chi, 2011; Li, Huang y Yang, 2011; Li y Kaiser, 2011; Yang, 2014). De la revisión de la literatura identificamos dos tipos de características para identificar a profesores expertos, que agrupamos y denominamos primarias y secundarias, con las que hemos conformado la conceptualización de profesor experto (Rojas, Carrillo y Flores, 2012). Las características primarias aluden a aspectos específicos de la tarea de enseñanza y a cuestiones sobre conocimiento (comprensión de los contenidos específicos, del aprendizaje de los estudiantes y de estrategias de enseñanza, etc.). Las características secundarias atienden a aspectos generales de la experiencia profesional del profesor (estar en ejercicio y tener cinco o más años de experiencia docente en aulas, profesor destacado según las evaluaciones institucionales, etc.).
METODOLOGÍA Empleamos métodos cualitativos vinculados al paradigma interpretativo con el propósito de profundizar y comprender los aspectos de conocimiento revelados por los profesores en su práctica docente (Cohen, Manion y Morrison, 2011). Asimismo, al ser el foco de atención comprender el conocimiento del profesor, sin intención de generalizar, hemos elegido el estudio de caso como diseño de investigación (Stake, 2007; 1998). A continuación, describimos la selección de los casos y el proceso de recogida y análisis de datos.
Selección de los casos Por medio de recomendaciones de profesores del área de Didáctica de la Matemática, de las universidades de Granada y Huelva, establecimos vínculos con docentes de centros de la Comunidad de Andalucía. Los profesores fueron recomendados por estar comprometidos con la tarea de enseñanza; participar activamente en congresos, seminarios o capacitaciones impartidos por distintas entidades; y por tener una amplia experiencia profesional. Estas recomendaciones nos llevaron a establecer contacto con 9 profesores; en un primer acercamiento descartamos a algunos docentes por distintas razones (no accedieron a grabar sus aulas, se estaban acogiendo a la jubilación, etc.). Dos de los profesores recomendados, expresaron interés por colaborar con el estudio, accediendo a que ingresáramos al aula para filmar la enseñanza de los números racionales. Finalmente, aplicando las características definidas, seleccionamos a dos profesores, Rodríguez y Rivera.
El profesor Rodríguez es titulado como profesor de Enseñanza General Básica (EGB), tiene estudios de Magisterio con una duración de tres años, ha ejercido la docencia de matemáticas durante 34 años en Educación Primaria, enseñando a lo largo de este tiempo el tema de las fracciones. El profesor Rivera es Licenciado en Matemáticas, tiene un diploma de estudios avanzados en Ingeniería Ambiental, ha participado en congresos referentes a Sistemas Dinámicos (una de sus áreas de interés), tiene 13 años de experiencia como profesor de matemáticas. Estas y otras apreciaciones nos llevaron a considerar a los profesores como sujetos informantes de la investigación.
Recogida de datos Una vez seleccionados los profesores, procedimos a examinar su práctica docente a través de la observación no participante o pasiva. Las sesiones en las cuales se aborda el tema de los números racionales han sido grabadas en audio y video, con el fin de captar la totalidad del escenario y las interacciones entre el profesor y los estudiantes. Para el caso del profesor Rodríguez se observó y grabó una secuencia de 21 clases, en un curso de 6º de Educación Primaria de una escuela pública de Málaga. Para el caso del profesor Rivera se observó y grabó una secuencia de 12 clases, en un curso de 1º de Educación Secundaria de un instituto público de la ciudad de Huelva.
Análisis e interpretación de datos El análisis se aplica al texto que registra la actividad matemática desarrollada en las clases. La información de audio y vídeo se transcribe por turnos de intervención a través del criterio conversacional, que consiste en separar las declaraciones o turnos de palabras u oraciones de los sujetos implicados (Rodríguez, Gil y García, 1996, p. 207).
Luego dividimos los datos en episodios, que corresponden a fragmentos de intervenciones que tienen una secuencia de acciones y un principio y un fin reconocible (Krippendorff, 1990, p.85). Posteriormente, en una matriz descriptiva vamos asignando cada episodio según los indicadores de conocimientos establecidos. El análisis de los datos se realiza a través de una descripción detallada interpretativa, empleando el proceso de análisis de contenido (Fox, 1981, p.709).
ANÁLISIS Y RESULTADOS Presentamos el caso de dos profesores: Rodríguez y Rivera, que enseñan el contenido matemático escolar de las fracciones a niños de 6º de Educación Primaria y 1º de Educación Obligatoria Secundaria, respectivamente.
Para contextualizar la enseñanza impartida por los profesores, mencionamos algunos aspectos que se relacionan con el conocimiento pedagógico general. En la enseñanza del tema impartido por el profesor Rodríguez prevalece la formulación de preguntas a los estudiantes, promoviéndose la argumentación para generar discusión en clase.
La comunicación es de tipo instructiva; es decir, se produce por medio de la integración de las contribuciones de los estudiantes, buscando modificar la comprensión matemática a partir de preguntas, así como informar de la instrucción subsiguiente (Carrillo, Climent, Gorgorió, Rojas y Prat, 2008). También permite espacios para la reflexión logrando que los estudiantes modifiquen la comprensión matemática de lo abordado (Brendefur y Frykholm, 2000; Carrillo et al., 2008). En la enseñanza impartida por el profesor Rivera se promueve una comunicación unidireccional, en la que mayoritariamente el profesor explica el tema dando pocas ocasiones para que los estudiantes comuniquen sus ideas (Carrillo et al., 2008). Durante las clases el profesor enuncia preguntas cerradas a sus estudiantes, dejando pocas oportunidades para que ellos expresen ideas o estrategias diferentes de las esperadas.
Referente al conocimiento especializado manifestado por el profesor Rodríguez, tres son los subdominios más destacados, a lo largo de las 21 sesiones de clase: el conocimiento de los temas matemáticos (KoT), conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas (KFLM) y el conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT). Aunque, en general, se destaca la presencia de los subepisodios relacionados con el dominio conocimiento didáctico del contenido (PCK), especialmente aspectos sobre las características de aprendizaje de las matemáticas. En el caso del profesor Rivera los subdominios de conocimiento más destacados son: el conocimiento de los temas matemáticos, el conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas y el conocimiento de la enseñanza de las matemáticas, predominando los conocimientos matemáticos. En lo que sigue, detallamos una síntesis de los elementos de conocimiento más destacados, según algunos indicadores de conocimiento:
- Los sistemas de representación más empleados en la enseñanza de las fracciones fueron el figural, simbólico verbal y simbólico numérico. La representación verbal se utiliza esencialmente para hacer lecturas de las fracciones según su representación numérica. Esta representación se presenta para definir la fracción a/b como cociente, que tiene un número decimal asociado y como un representante de un todo o unidad. El profesor de Educación Primaria promueve el paso de la representación verbal a la figural y luego a la representación simbólica, empleando en ocasiones material concreto. El profesor de Educación Secundaria se centra en pasar de la representación verbal a la simbólica, y en algunas oportunidades emplea la representación figural.
- Tanto el profesor de Educación Primaria como el de Educación Secundaria, establecen conexiones con contenidos estudiados en cursos preliminares (conexiones temporales), que les permite justificar y relacionar nociones o procedimientos matemáticos. También se presentan conexiones intraconceptuales; es decir, se establecen enlaces hacia el interior de un mismo concepto.
- Respecto de la complejidad matemática del contenido, el profesor de Educación Primaria va ¿complejizando¿ la actividad matemática siempre a partir de la fracción en relación a una unidad o todo. Primero, presenta un repertorio de tareas de partición de la unidad en partes iguales, para introducir la fracción como resultado de dicha partición. Tiene especial cuidado en enfatizar la igualdad, comenzando por igualar el tamaño y forma de las partes, y posteriormente sólo el tamaño. Esto le permite asociar la expresión simbólica con la representación figural. También tiende a graduar las cantidades empleadas, comenzando con tareas de datos sencillos para continuar con situaciones más complejas.
- El profesor de Educación Secundaria comienza empleando el significado de la fracción como parte-todo, y este principio lo lleva a trabajar la equivalencia, el orden de fracciones, etc. Extiende el significado de fracción como parte-todo referido a un todo de 100 partes, para introducir los porcentajes (como medidas que varía en función del total). Además, la comparación entre dos partes de un todo o cantidades lleva a la idea de fracción como razón, complejizando el significado de fracción como parte-todo. Esto permite al profesor concebir que la fracción va más allá de partir en partes iguales y tomar algunas de ellas, identificando relaciones multiplicativas entre dos cantidades.
- Respecto a las formas de hacer y proceder en matemática, los dos profesores razonan de manera matemáticamente correcta, sin hacer uso de un lenguaje formal (no se aluden a teoremas, axiomas, demostraciones, etc.). La actividad matemática se presenta a partir de situaciones concretas, realizando diferentes acciones que comportan dividir, fraccionar, repartir, etc., aludiendo a actividades prácticas. Enuncian algunas definiciones matemáticas verbalmente, sintetizando y expresando en lenguaje corriente, alejado del lenguaje matemático.
- El profesor de Educación Secundaria revela una forma de proceder en matemáticas siguiendo una secuencia de pasos lógicos: parte de una premisa inicial, aplica una definición y llega a la conclusión, esto deja de manifiesto que el docente sigue un proceso propio de la lógica matemática.
- El profesor de Educación Primaria es consciente de algunos errores y dificultades (conceptuales y de cálculo) más habituales que presentan los estudiantes al resolver las tareas matemáticas del tema. Esto le hace explicitar estas manifestaciones o bien presentar tareas para que los estudiantes identifiquen y corrijan el error o afronten la dificultad.
- El profesor de Educación Secundaria manifiesta conocer errores aritméticos que los estudiantes exhiben. Al dar pocas ocasiones para que los estudiantes comuniquen sus ideas, resulta más complicado identificar los aspectos que conoce sobre el modo de pensar de sus alumnos respecto de las tareas matemáticas, aunque anticipa algunas, y actúa en consecuencia.
- Ambos profesores presentan tareas matemáticas relacionadas con contenidos de la estructura conceptual referentes al tema, enunciadas en contextos y situaciones diferentes (contextos personales o matemáticos), además permiten emplear distintos sistemas de representación.
CONCLUSIONES A partir del análisis detallado de los datos identificamos componentes de conocimiento para cada subdominio del modelo MTSK. Posteriormente, integramos dichos componentes para realizar una síntesis que permitió comprender cuál es el conocimiento matemático especializado del profesor. En el caso del docente de Educación Primaria se destacan dos circunstancias importantes, tiene una formación de base como maestro generalista y una amplia experiencia docente (34 años). Es esta experiencia, manifestada no solo por sus años de práctica docente, sino especialmente por el destacado reconocimiento que de él manifiestan sus compañeros y la comunidad de profesores, lo que nos llevó a reconocerlo como un profesor experto. Considerando que su formación generalista le hace tener una formación matemática de base menos formal (Krauss, Brunner, Kunter, Neubrand, Blum, y Jordan, 2008), apreciamos que organiza la enseñanza del tema de manera más intuitiva pero con gran sistematicidad y riqueza de aspectos. Los resultados de este estudio muestran que su experiencia, relacionada con su responsabilidad profesional, le ha llevado a una integración más fuerte de diferentes categorías de conocimiento.
En el caso del profesor de Educación Secundaria, tiene una formación como licenciado en matemáticas y estudios de posgrado en esta especialidad. Esto se ve reflejado en un conocimiento matemático organizado, especialmente en sus aspectos formales. Pero además, tiene capacidad para encontrar situaciones contextualizadas que expresen fenomenológicamente los conceptos referentes al tema. Aunque las tareas de enseñanza se centran en una utilización de la fracción en relación a una unidad, el profesor muestra manejar el conocimiento de la fracción razón, interpretando las situaciones de una manera proporcional, en la que la relación entre la parte y el todo se puede aplicar a todos proporcionales (completo), lo que permite obtener la porción mediante la unión de porciones parciales. Este conocimiento de nuevos significados no se acompaña de una enseñanza específica, lo que indica que no le da suficiente entidad para considerarlo aprendizajes específicos. Parece que el profesor conoce diversas situaciones que dan significado a los conceptos, pero no está claro si las distingue explícitamente, y por tanto no se detiene a plantear tareas que cubran los diferentes significados de fracción, aunque habríamos necesitado entrevistar al profesor para confirmar esta apreciación.
A partir del análisis detallado de los datos identificamos componentes de conocimiento para cada subdominio del modelo MTSK. Posteriormente, integramos dichos componentes para realizar una síntesis que nos suministró una imagen más integrada para comprender cuál es el conocimiento matemático especializado develado por los profesores. Esto lleva a establecer que se han alcanzado los objetivos O1, O2, O3 y O4 de la investigación.
A partir de la comprensión del conocimiento de los profesores, profundizamos en la caracterización del modelo teórico de conocimiento empleado en el estudio, que corresponde a los objetivos O5 y O6. El quinto objetivo buscaba avanzar en la caracterización de los subdominios del modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas. Este trabajo ha ido contribuyendo paulatinamente en las reflexiones para la elaboración del modelo MTSK, aportando análisis de fragmentos de clase (reales) para profundizar en las categorías e indicadores de conocimiento de cada dominio del modelo.
Considerando que el modelo de conocimiento MTSK surge de la necesidad de disponer de herramientas que permitan profundizar en el conocimiento necesario para enseñar (Carrillo, 2011; Carrillo et al., en revisión), además que es un modelo que nace de reflexiones teóricas orientadas a comprender y estructurar el conocimiento del profesor de matemáticas, esta investigación ha servido para aportar dos ejemplos concretos del conocimiento puesto en práctica por profesores al enseñar el tema de las fracciones. El modelo MTSK ha sido una herramienta beneficiosa para depurar el conocimiento observado durante la acción docente, mostrando potencialidad analítica para profundizar en la comprensión del conocimiento matemático del profesor, manifestado en su práctica.
También el diseño de la investigación, especialmente la relación teórica establecida entre el análisis didáctico y modelo MTSK, ha permitido tener referentes concretos para profundizar en la naturaleza de cada uno de los subdominios de conocimiento, aportando una lista de categorías e indicadores de conocimiento, referentes al tema de los números racionales, que se distinguen para cada uno de los seis subdominios del modelo MTSK. Estas apreciaciones resumen los logros del quinto objetivo de la investigación.
El sexto objetivo consistía en establecer indicadores y subcategorías de conocimiento referentes al contenido matemático escolar de los números racionales. Definimos 19 categorías con sus respectivos indicadores de conocimiento (total 58), relacionados con el tema de los números racionales. Las categorías e indicadores fueron construidos antes del proceso de recopilación de la información y se aplicaron a distintas unidades de información, permitiendo organizar y profundizar en el conocimiento especializado.
En este trabajo buscábamos completar las categorías e indicadores de conocimiento con datos emergentes, que pudiesen surgir de la indagación de los significados de los propios datos, no obstante, del análisis de las clases no surgieron categorías emergentes de los datos. La función que han desempeñado las categorías en la investigación, así como su correspondencia con las bases teóricas, llevan a considerar que el sexto objetivo fue alcanzado en alto grado.
Principales aportes de la investigación El conocimiento del contenido matemático y didáctico del contenido son comúnmente considerados como una parte importante de la pericia del docente, constituyéndose en medios para apreciar lo que caracteriza el conocimiento específico de los profesores expertos para la enseñanza de las matemáticas (Li y Kaiser, 2012). Con este tipo de herramientas se podrán abordar más investigaciones para examinar el nivel de conocimiento de los profesores expertos sobre la matemática escolar (Li y Kaiser, 2011; Rojas, Flores y Carrillo, 2011, 2013, en prensa).
El modelo MTSK ha sido una valiosa herramienta para profundizar en el conocimiento del profesor a partir de la observación de aula. La especialización del modelo MTSK permitió diferenciar elementos para centrarnos exclusivamente en el conocimiento matemático y didáctico del contenido.
Considerando que los modelos de conocimiento suelen incluir categorías generales, pensamos que resulta importante disponer de modelos que lleven a un análisis detallado de cada uno de los tipos de conocimiento, que se manifiestan en la enseñanza de las matemáticas. En este trabajo presentamos una serie de indicadores de conocimiento relacionado con el modelo MTSK, referentes al tema de los números racionales.
La realización del análisis didáctico del tema de los números racionales nos permitió hacer una reflexión sobre las cualidades educativas e instruccionales del contenido matemático escolar, además establecer relaciones entre los componentes del análisis didáctico y los dominios de conocimiento del modelo MTSK. Por lo tanto, el análisis didáctico se ha manifestado como una efectiva herramienta teórica-metodológica para identificar conocimiento matemático a partir de la observación de clase (Rojas y Flores, 2011; Rojas, Flores y Ramos, 2013).
La organización de las características primarias y secundarias elaboradas permitieron seleccionar e identificar a profesores con cierto grado de pericia matemática. Los profesores expertos dejan a la luz grandes fortalezas de enseñanza, aspectos que se pueden realzar en profesores con características de expertos para destacarlos como mentores de profesores noveles.
Los perfiles de conocimiento de los dos profesores estudiados, aun sin pretender generalizaciones, aportan una forma de integrar las componentes del conocimiento matemático especializado del profesor experto, señalando qué papel juega en este conocimiento la experiencia, su formación de base, los conocimientos matemáticos de carácter fenomenológico, la forma en que se organizan y dan sentido a su actuación con los alumnos, y cómo afrontan su responsabilidad profesional al enseñar un contenido matemático.
Limitaciones y perspectivas para el avance de la investigación Considerando que la línea de trabajo que motiva está investigación es estudiar el conocimiento especializado de los profesores de matemáticas, en su acción docente, esto nos llevó a centrarnos únicamente en la observación directa del aula. La construcción de una representación sintética del conocimiento de cada profesor se vería enriquecida mediante un mayor contacto con los sujetos, complementándose con entrevista a los profesores de estímulo del recuerdo, para indagar sobre las conductas o actuaciones ejecutadas y observadas en las clases.
Por otra parte, los docentes seleccionados cumplieron con la mayoría de características secundarias; es decir, con aspectos generales que aludían a su formación profesional, sin embargo, las características primarias no fueron confirmadas en su totalidad. En este caso, sería conveniente aplicar otros instrumentos a los profesores para confirmar aspectos específicos de la tarea de enseñanza y de conocimiento.
Según los resultados del estudio, las conclusiones derivadas de estos y los problemas principales de la línea de investigación de Formación de Profesores de Matemáticas, sugerimos algunas líneas futuras de investigación. Ampliar el análisis didáctico en torno a los cuatro tipos de análisis: de contenido, cognitivo, de instrucción y de evaluación, puede llevar a considerar más posibilidades para vincular los componentes de conocimiento que caracterizan el modelo MTSK. Esto puede ser la base para inferir cómo cada uno de los organizadores del análisis didáctico promueve el desarrollo de diferentes dominios de conocimiento en los cursos de formación.
En la línea de evaluación del conocimiento del profesor de matemática se busca estudiar la calidad matemática de los procesos de instrucción (Hill, Blunk et al., 2008), estableciéndose categorías que permiten medir el proceso. En este estudio las relaciones detalladas entre el análisis didáctico y el modelo MTSK aportan una serie de indicadores organizados según los distintos dominios de conocimientos, que pueden ser adaptados para valorar la calidad matemática de procesos de instrucción en que se aborde el tema de los números racionales.
Los indicadores de conocimiento propuestos pueden seguir enriqueciéndose para el tema de las fracciones, además se pueden ampliar a otros contenidos matemáticos escolares, de distintos niveles, para profundizar en el conocimiento especializado de los profesores de matemáticas.
