Resumen de Significados de la relación de divisibilidad de maestros en formación manifestados en el desarrollo de un modelo de enseñanza
Ángel Alberto López
1. INTRODUCCIÓN O MOTIVACIÓN DE LA TESIS La teoría de números es una de las ramas más antiguas de la matemática y que ha desempeñado un papel protagónico en el desarrollo de la ciencia y la tecnología. Recientemente se han hecho investigaciones que apuntan hacia la teoría de números como una puerta abierta y de fácil acceso a los estudiantes de diferentes niveles educativos para explorar los principios y patrones matemáticos y, en consecuencia, para que los profesores cultiven una comprensión profunda y fundamental de las matemáticas (Zazkis y Campbell, 2006).
Algunas investigaciones sobre esta temática se orientan hacia la comprensión de conceptos particulares relacionados con la divisibilidad (Bodí, Valls y Llinares 2007; Brown, Thomas y Tolias, 2002; Campbell, 2006; Feldman, 2012; López y Cañadas 2013; López, Castro y Cañadas 2013a, 2013b, en prensa; Zazkis y Campbell 1996a, 1996b; Zazkis, Sinclair y Liljedahl, 2013). Otras investigaciones en este campo se orientan hacia el papel de la teoría elemental de números, como contexto, para hacer exploraciones sobre el razonamiento matemático (Lavy, 2006; Liljedahl 2006; Martin y Herel, 1989; Mason, 2006). La mayoría de estas investigaciones se han realizado con maestros en formación y sus autores insisten en la necesidad de continuar indagando sobre teoría elemental de números, por la contribución que puede suponer para la forma de trabajar estas nociones en la formación de maestros y su repercusión posterior en su profesión como docentes de educación primaria.
Realizamos este trabajo de investigación motivados por la convicción de que el estudio de los significados que los futuros maestros ponen de manifiesto al realizar tareas de divisibilidad, que han sido diseñadas con el propósito de promover su aprendizaje sobre este tópico desde un contexto relacional, pueden dar luces sobre propuestas o instrucciones que contribuyan en la formación de maestros con conocimientos matemáticos sólidos requeridos para enseñar matemáticas.
En esta investigación nos interesamos por el proceso de aprendizaje de un grupo de maestros en formación cuando estudian el tema de divisibilidad. Diseñamos e implementamos un experimento de enseñanza que se caracteriza por una secuencia de trabajo en las que se promueve el estudio de la divisibilidad como una relación de orden. Estudiamos los significados mostrados por un grupo de maestros en formación en la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Granada en la asignatura Bases Matemáticas para la Educación Primaria.
Nos propusimos dos objetivos: (1) estudiar el proceso de diseño, puesta en práctica y análisis de una secuencia de trabajo en la que se aborda la divisibilidad desde una perspectiva relacional y (2) describir y caracterizar los significados que ponen de manifiesto los maestros en formación a partir de la implementación de una secuencia de trabajo centrada en la divisibilidad como relación de orden.
2. DESARROLLO TEÓRICO Y RESULTADOS En este trabajo de investigación, abordamos el análisis didáctico desde dos de sus diferentes funciones —curricular y de investigación— (Rico y Fernández-Cano, 2013). Por una parte para la planificación, puesta en práctica y evaluación de la secuencia de trabajo implementada con los maestros en formación, y por otra parte, para explorar y describir los significados que ponen de manifiesto los maestros en formación al realizar las tareas sobre divisibilidad.
Realizamos un experimento de enseñanza con 40 maestros en formación, tomados intencionalmente, del curso académico 2012-2013, alumnos de la asignatura Bases Matemáticas para la Educación Primaria, del Grado en Educación Primaria de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Granada. En el experimento de enseñanza abordamos la divisibilidad como una relación.
Estudiamos los significados que ponen de manifiesto los maestros en formación desde la terna: estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología. En ese sentido, sobre las producciones escritas de los maestros en formación, y, complementadas con las grabaciones de audio y vídeo realizadas durante las sesiones del experimento de enseñanza, describimos los significados que ponen de manifiesto los maestros en formación en las tareas realizadas sobre divisibilidad.
Realizamos diferentes procedimientos para el análisis de los datos. En el caso de los significados que ponen de manifiesto los maestros en formación sobre las relaciones “ser múltiplo” y “ser divisor” consideramos dos tipos de análisis: análisis de frecuencias y análisis clúster.
En las respuestas de los estudiantes identificamos la presencia de las cuatro variables que definimos para el estudio del significado de múltiplo: múltiplo como producto, múltiplo como factor, múltiplo como dividendo, múltiplo como relación. Para este análisis hicimos 185 observaciones, es decir, cinco tareas por cada uno de los 37 maestros en formación.
Los maestros en formación, en sus respuestas, asociaron en forma más frecuente múltiplo como un producto entre números y múltiplo como la relación entre números. Estas dos variables fueron puestas de manifiesto por los maestros en formación en más de la mitad de las observaciones que realizamos.
Con el análisis clúster se conformaron cuatro conglomerados. Cualitativamente podemos describir cada uno de los conglomerados desde los significados, esto es, desde la terna estructura conceptual, sistema de representación y fenomenología. Podemos distinguir, desde la estructura conceptual, que un estudiante asignado al conglomerado P1 se caracteriza por mostrar solo relaciones entre procedimientos, mientras que un estudiante del conglomerado P3 se caracteriza por establecer también relaciones entre conceptos-procedimientos. Los estudiantes asignados al conglomerado P4, además de mostrar las relaciones de P1 y P3, mostraron relaciones entre conceptos. Con respecto a los sistemas de representación, los maestros en formación que conformaron el conglomerado P1 y P3 no mostraron diferencias, es decir, ambos conglomerados mostraron el uso del sistema de representación verbal y del simbólico numérico además realizaron la operación de transformación (sintáctica in-variante y sintáctica variante). En tanto que el conglomerado P4, además de usar el sistema de representación y la operación utilizada por P1 y P3, utilizó también el sistema de representación de simbolismo algebraico y la operación de traducción entre el sistema de representación verbal y simbólico (numérico y simbolismo algebraico). Con respecto a la fenomenología los conglomerados P1 y P3 utilizan el contexto operacional mientras que el conglomerado P4 utiliza el contexto relacional. El conglomerado P1 utilizó la operación de multiplicación mientras que el conglomerado P3 utilizó además la operación de división para decidir sobre el múltiplo y el conglomerado P4 no utiliza las operaciones aritméticas para decidir sobre múltiplo sino que utiliza la condición necesaria y suficiente para que un número sea múltiplo de otro.
Con respecto a la relación ser divisor, identificamos la presencia de las tres variables que definimos para el estudio del significado de divisor: divisor como consecuencia de haber efectuado una división y que esta resulte exacta, divisor como relación y divisor como el rol en la operación de división. Para este análisis hicimos 185 observaciones, es decir, cinco tareas por cada uno de los 37 maestros en formación.
Los maestros en formación, en sus respuestas, asociaron en forma más frecuente divisor como consecuencia de haber realizado una división y que esta resulte exacta, y, divisor como una relación entre números. Estas dos variables fueron puestas de manifiesto por los maestros en formación en más de la mitad de las observaciones que realizamos.
Con respecto al análisis clúster se conformaron cuatro nuevos grupos. Para el conglomerado P1 en la relación de divisor la variable que agrupa mayoritariamente es la de no respuesta.
El conjunto de 8 estudiantes que conforman el conglomerado P2 y que se caracteriza por mostrar el significado de divisor como una relación entre números, mostraron relaciones entre conceptos, entre procedimientos y entre conceptos-procedimientos. Con respecto a los sistemas de representación, el conjunto de estudiantes que conforman el conglomerado (P2), utilizó tres sistemas de representación: verbal, tabular y simbólico numérico. Establecieron combinaciones entre los sistemas de representación utilizados. Realizaron operaciones de transformación sintáctica (invariante y variante) en el sistema de representación simbólico numérico y traducciones entre el sistema de representación simbólico numérico y el sistema de representación tabular. Con respecto a la fenomenología, identificamos en sus respuestas sobre divisor la condición necesaria y suficiente para que un número sea divisor de otro. El contexto utilizado para la condición de ser divisor es relacional y está asociado estrictamente con la subestructura matemática de divisibilidad en el anillo de los números enteros.
El conjunto de 14 estudiantes que conforman el conglomerado P3 muestran en la estructura conceptual relaciones entre procedimientos, relaciones entre conceptos-procedimientos y no muestran relaciones entre conceptos. Con respecto a los sistemas de representación, este grupo de 14 utilizó dos sistemas de representación verbal y simbólico numérico. En el sistema de representación simbólico numérico hicieron transformaciones sintácticas invariantes cuando pasaron un número que estaba escrito en su representación canónica a otro escrito en su representación posicional de base diez. Respecto a la fenomenología, identificamos el uso de la multiplicación, división y de la condición necesaria y suficiente para que un número sea divisor de otro. El contexto es mayoritariamente operacional y está asociado a la subestructura matemática de (Z, ×) .
El conglomerado P4 que está conformado por 8 estudiantes muestran en la estructura conceptual relaciones entre procedimientos. Con respecto a los sistemas de representación, este grupo utilizó dos sistemas de representación verbal y simbólico numérico. En el sistema de representación simbólico numérico hicieron transformaciones sintácticas invariantes cuando pasaron un número que estaba escrito en su representación canónica a otro escrito en su representación posicional de base diez. Respecto de la fenomenología, identificamos el uso de la división. El contexto es operacional y está asociado a la subestructura matemática de (Z, ×).
3. CONCLUSIONES Y APORTACIONES El desarrollo del análisis didáctico nos permitió organizar las secuencias de trabajo en función de dos niveles de expectativas de aprendizaje (objetivos y capacidades) sobre la divisibilidad y distribuirlas en las tres sesiones del experimento de enseñanza.
Describimos la actuación de los maestros en formación desde las expectativas de aprendizaje tomando como referencia las capacidades que ponen en juego durante el desarrollo de las secuencias de trabajo.
Un grupo de maestros en formación mostró, desde la estructura conceptual, solo relaciones entre procedimientos. Estos procedimientos estuvieron asociados, mayoritariamente, a algoritmos relacionados con las operaciones aritméticas de multiplicación o división. En cuanto a los sistemas de representación, este grupo de maestros en formación utilizó hasta dos sistemas de representación y realizaron operaciones entre los sistemas de representación. La operación que más utilizaron fue la transformación sintáctica (variante-invariante). Esta operación la utilizaron para reescribir el número, dado en la descomposición canónica, a su representación posicional de base diez y a partir de esta representación hacer la operación aritmética de multiplicación o división para decidir sobre la divisibilidad. El contexto en el cual este grupo utiliza los conceptos es estrictamente operacional, es decir, siempre utilizan la operación aritmética para decidir sobre la relación de divisibilidad.
Por otra parte, hay otro grupo de maestros en formación que pusieron de manifiesto la divisibilidad en un contexto relacional, establecieron relaciones entre conceptos, entre procedimientos y entre conceptos-procedimientos asociados a la relación de divisibilidad. Utilizaron hasta tres sistemas de representación y realizaron las operaciones de transformación sintáctica (variante-invariante) y también realizaron traducciones entre distinto sistemas de representación.
Un hallazgo que queremos destacar es la diferencia que pudimos observar cuando estos grupos utilizaron los sistemas de representación. Si observamos solo el uso de los sistemas de representación no percibimos diferencias notorias en ambos grupos. Ambos utilizaron los mismos sistemas de representación. Sin embargo, la diferencia la observamos en la forma como utilizaron las operaciones entre los sistemas de representación. Así por ejemplo, el grupo que asocia la divisibilidad en un contexto operacional utilizó la operación sintáctica invariante para poder decidir sobre la divisibilidad, mientras que el grupo que asocia la divisibilidad en el contexto relacional no utiliza esta operación para decidir sobre la divisibilidad; la utiliza posterior a la decisión que toman sobre la divisibilidad. Este grupo decide sobre la divisibilidad desde la propia descomposición canónica del número.
Otro aspecto puesto de manifiesto en la actuación de los maestros en formación es la utilización limitada del teorema fundamental de la aritmética. La descomposición en factores primos de un número (primera parte del teorema) no presentó dificultad para los maestros en formación que participaron en este estudio. Sin embargo, algunos de ellos no consideraron los factores explícitos y no explícitos en esa descomposición (López y Cañadas, 2013). En particular, mostramos las dificultades que presentaron para determinar todos los factores-divisores de un número a partir de su descomposición canónica. Esta evidencia, junto con los conocimientos previos, nos lleva a conjeturar que utilizan la descomposición en factores primos como un procedimiento independiente del teorema fundamental de la aritmética y que lo aplican de forma mecánica. Respecto a la segunda parte del teorema, observamos algunas respuestas que apuntan a la “posibilidad” de existencia de otra descomposición en factores primos, lo cual refleja una limitación importante en la utilización del teorema fundamental de la aritmética.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bodí, S., Valls, J. y Llinares, S. (2007). La comprensión de la divisibilidad en N. Un análisis implicativo. En R. Gras, B. Orús y B. Pinaud (Eds.), Nouveaux apports théoriques à l’analyse statistique implicative et applications: 4èmes rencontres internationales d’analyse statistique implicative, (pp. 99-110). Castellón, España: Universitat Jaume I.
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