Resumen de Quantization of categories: Weak bialgebras and weak multiplier bialgebras

Esperanza López Centella

• (En español) Una tendencia bastante reciente y en auge en el estudio de generalizaciones de la noción de álgebra de Hopf [12] resulta ser encontrar las descripciones de estas generalizaciones en un marco categórico. En esta línea, se ha demostrado que varias abstracciones de biálgebra (de Hopf) ---que han sido estudiadas intensivamente por su propio interés--- resultan ser tipos particulares de bimonoides (de Hopf) en categorías monoidales simétricas apropiadas. Así fue probado, por ejemplo, en [6], para las biálgebras grupo (de Hopf) de Turaev [14]; y en [7], para las biálgebras hom de Makhlouf y Silvestrov [11]. Tal descripción permite un tratamiento unificado de todas estas estructuras, explica conceptualmente el origen de algunos resultados obtenidos previamente por otros medios, y también pone a disposición la teoría general de bimonoides (de Hopf) en categorías monoidales trenzadas.

  Por todas estas razones, el primer objetivo de esta tesis doctoral es proporcionar una aproximación categórica a las biálgebras débiles [5]. Dado que éstas no parecen ser bimonoides en ninguna categoría monoidal trenzada, en nuestro trabajo las identificamos con bimonoides en las llamadas categorías duoidales [2]. En particular, para un álgebra Frobenius separable R, las biálgebras débiles con subálgebra derecha isomorfa a R son descritas como bimonoides en la categoría duoidal de R^e:=R o R^op-bimódulos. Entre los detalles de esta descripción merece ser destacado que, sobre un álgebra Frobenius separable R, el producto ×_R de Takeuchi [13] resulta ser un producto tensor de bimódulos (y, por tanto, monoidal) sirviendo junto con el producto tensor o_R^e de módulos sobre R^e como producto monoidal para la estructura duoidal de bim(R^e). Esto nos permite definir la categoría wba [3] de biálgebras débiles sobre un cuerpo dado.

  El segundo objetivo de esta tesis, y siendo una aplicación de lo anterior, consiste en usar la interpretación de las biálgebras débiles previamente expuesta para extender la bien conocida relación entre grupos y álgebras de Hopf cosemisimples y punteadas [1], en el siguiente sentido. Probamos que el «funtor linearización» K: cat^0 ---> wba (de la categoría cat^0 de categorías pequeñas con un número finito de objetos a wba) posee un funtor adjunto por la derecha, dado por un subconjunto apropiado del conjunto de elementos group-like de cada objeto de wba. Para una biálgebra débil general, este subconjunto es propio, esto es, es estrictamente más pequeño que el conjunto de elementos group-like. No obstante, si la biálgebra débil en cuestión es coconmutativa o tiene antípoda, entonces demostramos que se trata exactamente del conjunto de elementos group-like de la coálgebra subyaciente. Además, probamos que esta adjunción restringe a las categorías plenas de álgebras de Hopf débiles de wba y de grupoides pequeños de cat^0; y que dicha adjunción resulta una equivalencia al restringirnos respectivamente a las categorías de biálgebras débiles cosemisimples y punteadas, y de álgebras de Hopf débiles cosemisimples y punteadas.

  Motivado por razones de índole práctico y teórico, el tercer objetivo de esta investigación es encontrar una generalización no unital de biálgebra débil y con comultiplicación valuada en el álgebra de multiplicadores. Por un lado, su motivación viene del deseo de contar con una estructura algebraica de la que, dados un cuerpo k y una categoría pequeña con un conjunto de objetos no finito, sean ejemplos el k-espacio vectorial generado por su conjunto de morfismos y el k-espacio vectorial de funciones k-valuadas sobre dicho conjunto y con soporte finito. Consideradas sobre un grupo/grupoide arbitrario y un monoide finito/categoría pequeña con un número finito de objetos, estas construcciones algebraicas son recogidas por estructuras existentes en la literatura ---a saber, biálgebras (de Hopf) [12], biálgebras (de Hopf) débiles [5], álgebras multiplicadoras de Hopf [15], álgebras multiplicadoras de Hopf débiles [15,16], según el caso---. Sin embargo, para una categoría con un conjunto de objetos infinito, tales construcciones no son ejemplos de ninguna de estas estructuras. Por otro lado y de manera más relevante, nuestro estudio tiene por objetivo resolver la brecha conceptual de la situación «sin antípoda» de las álgebras multiplicadoras de Hopf (débiles) [12, 13]; así como identificar una clase de los nuevos objetos, intermedia entre las álgebras multiplicadoras de Hopf regulares y arbitrarias, suficientemente grande como para contener cualquier álgebra de Hopf débil y cuyos miembros tengan las propiedades esperadas como la estructura de las álgebras base. Por todo esto, introducimos la noción de biálgebra multiplicadora débil [4]. Por una parte, nuestra definición es avalada por el hecho de que (asumiendo algunas otras propiedades como regularidad o plenitud de la comultiplicación), la mayoría de las características de las biálgebras débiles usuales extienden a esta generalización:

  (1) Existe una correspondencia biyectiva entre las estructuras de biálgebra débil y las de biálgebra multiplicadora débil sobre cualquier álgebra unital.

  (2) El álgebra de multiplicadores de una biálgebra multiplicadora débil contiene dos álgebras Frobenius firmes canónicas que conmutan entre sí, las llamadas álgebras base. Basándonos en esto y generalizando al «ambiente de multiplicadores» varias propiedades equivalentes que distinguen a las biálgebras entre las biálgebras débiles, también proponemos una noción de biálgebra multiplicadora. Ésta es definida como el caso particular de biálgebra multiplicadora débil en que el álgebra base es trivial; esto es, contiene sólo múltiplos del elemento unidad.

  (3) Definidos apropiadamente (i.e. A-módulos por la derecha no unitales, idempotentes y no degenerados), los módulos sobre una biálgebra multiplicadora débil A constituyen una categoría monoidal vía el producto tensor sobre el álgebra base.

  Además, introducimos una noción de antípoda sobre una biálgebra multiplicadora débil regular, probando que la de biálgebras multiplicadoras débiles regulares con antípoda es la clase «intermedia» deseada entre las álgebras multiplicadoras de Hopf débiles regulares y las álgebras multiplicadoras de Hopf débiles arbitrarias; que responde satisfactoriamente a la cuestión planteada en [17], y es suficientemente grande como para contener a cualquier álgebra de Hopf débil unital. De hecho, cualquier álgebra multiplicadora de Hopf débil regular en el sentido de [17] es una biálgebra multiplicadora débil regular en nuestro sentido con antípoda. Por otra parte, si una biálgebra multiplicadora débil en nuestro sentido admite una antípoda, entonces es un álgebra multiplicadora de Hopf ---aunque no necesariamente una regular--- en el sentido de [17]. Es decir, las biálgebras multiplicadoras débiles regulares con antípoda se ubican entre las álgebras multiplicadoras de Hopf en [17] regulares y arbitrarias.

  En cuanto a aplicaciones, a pesar de su reciente nacimiento, las biálgebras multiplicadoras ya están repercutiendo notablemente en áreas de investigación relacionadas, favoreciendo el progreso de otros proyectos y líneas con temática afín. Prueba de ello es el trabajo [8], donde la definición de grupo cuántico compacto de tipo «face» debida a Hayashi [9] es generalizada al caso en que el álgebra base conmutativa no es finito dimensional, basándose en la noción de biálgebra multiplicadora débil presentada en esta tesis. Adicionalmente, en [10] se prueba que una biálgebra multiplicadora débil con comultiplicación regular y plena por la derecha y por la izquierda es un álgebra multiplicadora de Hopf débil regular si existe cierto conjunto de integrales. Este resultado, tal y como señalan sus autores, contribuye de manera relevante en el desarrollo de la teoría de grupoides cuánticos localmente compactos en el ámbito de álgebras de operadores, siendo precisamente esta teoría la motivación de su estudio.

  (In English) A quite recent trend in the subject of study of generalizations of the notion of Hopf algebra [10] turns out to be finding the descriptions of these generalizations in a categorical framework. In this spirit, some abstractions of (Hopf) bialgebras ---which have been studied intensively on their own right--- were shown to be instances of (Hopf) bimonoids in appropriately constructed braided (or even symmetric) monoidal categories. This was done, for example, in [6] for Turaev's group (Hopf) bialgebras [13] and in [7] for Makhlouf and Silvestrov's hom (Hopf) bialgebras [11]. Such a description allows for a unified treatment of all these structures, it conceptually explains the origin of some results obtained earlier by other means and it also makes available the general theory of (Hopf) bimonoids in braided monoidal categories.

  For all theses reasons, the first main aim of this doctoral thesis is to get a categorical approach to weak bialgebras [5]. As they do not seem to be bimonoids in any braided monoidal category, we identify them rather with (Hopf) bimonoids in so-called duoidal categories [2]. In particular, for a separable Frobenius algebra R, we describe weak bialgebras with right subalgebra isomorphic to R as bimonoids in the duoidal category of R^e:=R o R^op-bimodules. In this, two points are worth to be highlighted. On the one hand, the duoidal structure of the category of bimodules over R^e is given by the monoidal products o_R^e and the Takeuchi's x_R product [12]. On the other hand, this is possible because the Takeuchi's x_R product, when considered over a separable Frobenius algebra R, is proven to be a bimodule tensor product turning out to be, consequently, a monoidal product. This allows us to define a category wba [3] of weak bialgebras over a given field.

  As a second aim of this thesis and as application of the above one, this interpretation of weak bialgebras is used to extend the well-known relation between groups and cosemisimple pointed Hopf algebras [1] in the following sense. We prove that the 'free vector space' functor K:cat^0 ---> wba (from the category of small categories with finitely many objects to wba) possesses a right adjoint given by taking a suitable subset of the set of group-like elements of each object in wba. For a general weak bialgebra, this subset is shown to be proper, that is, it is indeed strictly smaller than the set of group-like elements. Nevertheless, if the weak bialgebra in question is cocommutative or if it has an antipode, then it is exactly the set of group-like elements. We prove that this adjunction restricts to the full subcategories of weak Hopf algebras of wba and the category of small groupoids of cat^0; and that it becomes an equivalence by respectively restricting us to the categories of pointed cosemisimple weak bialgebras, and of pointed cosemisimple weak Hopf algebras .

  The third aim of this research is to find a non-unital generalization of weak bialgebras with a multiplier-valued comultiplication. This generalization is well motivated both in practice and in theory. On the one hand, its motivation comes from the wish to have an algebraical structure for which, given a small category C with non-finite object set, the linear span of its arrow set and the vector space of finitely supported functions on its arrow set are particular instances. When taken on an arbitrary group/groupoid and a finite monoid/small category with finitely many objects, these algebraical constructions are covered by existing structures in the literature ---namely, (Hopf) bialgebras [12], weak (Hopf) bialgebras [5], multiplier Hopf algebras [15] and weak multiplier Hopf algebras as the case [16]---. However, for a small category with an infinite object set, the aforementioned constructions are not examples of any of these structures. On the other hand and more importantly, we aim to fill the conceptual gap of the 'antipodeless' situation of (weak) multiplier Hopf algebras [15, 16]; as well as identifying a class of the new objects, intermediate between regular and arbitrary weak multiplier Hopf algebras, big enough to contain any unital weak Hopf algebra and whose members should have the expected properties like the structure of the base algebras. For this, we introduce the notion of weak multiplier bialgebra [4]. Our definition is supported by the fact that (assuming some further properties like regularity or fullness of the comultiplication), the most characteristic features of usual weak bialgebras extend to this generalization:

  (1) There is a bijective correspondence between the weak bialgebra structures and the weak multiplier bialgebra structures on any unital algebra.

  (2) The multiplier algebra of a weak multiplier bialgebra contains two canonical commuting anti-isomorphic firm Frobenius non-unital algebras; the so-called base algebras. By generalizing to the multiplier setting several equivalent properties that distinguish bialgebras among weak bialgebras, we also propose a notion of multiplier bialgebra based on this: it is defined as the particular case of weak multiplier bialgebra when the base algebra is trivial; that is, it contains only multiples of the unit element.

  (3) Appropriately defined modules (i.e. idempotent and non-degenerate non-unital right A-modules) over a regular weak multiplier bialgebra A with a full comultiplication constitute a monoidal category via the module tensor product over the base algebra.

  Moreover, we introduce the notion of antipode on a regular weak multiplier bialgebra . We claim that the one of regular weak multiplier bialgebras possessing an antipode is the desired `intermediate' class between regular and arbitrary weak multiplier Hopf algebras in which one can answer the questions left open in [17] and which is big enough to contain any unital weak Hopf algebra. In fact, we conclude that any regular weak multiplier Hopf algebra in the sense of [17] is a regular weak multiplier bialgebra in the sense of this thesis, possessing an antipode; and that if a regular weak multiplier bialgebra in the sense of this thesis admits an antipode, then it is also a weak multiplier Hopf algebra ---though not necessarily a regular one--- in the sense of [17]. That is to say, regular weak multiplier bialgebras possessing an antipode presented in this work are between regular and arbitrary weak multiplier Hopf algebras in [17].

  Concerning applications, in spite of their recent birth, weak multiplier bialgebras are already having a notable impact in related areas, allowing progress in further research projects. This is evidenced by the work [8], where Hayashi's definition of a compact quantum group of face type [9] is generalized to the case where the commutative base algebra is no longer finite-dimensional, by relying on the notion of weak multiplier bialgebra. In addition, in [10], it is shown that a weak multiplier bialgebra with a regular and right and left full comultiplication is a regular weak multiplier Hopf algebra if there is a faithful set of integrals. As pointed out by the authors, the relevance of this result lies in the aid that it represents for the development of the theory of locally compact quantum groupoids in the operator algebra setting, being precisely the prospect of such a theory the motivation of their study.

  Referencias/References [1] Eiichi Abe, Hopf algebras, Cambridge University Press (1980), ISBN 0 521 222400.

  [2] Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan, Monoidal Functors, Species and Hopf Algebras, CRM Monograph Series 29 (2010), AMS Providence.

  [3] Gabriella Böhm, José Gómez-Torrecillas and Esperanza López-Centella, On the category of weak bialgebras, J. Algebra 399 (2014), 801-844, [arXiv:1306.1459].

  [4] Gabriella Böhm, José Gómez-Torrecillas and Esperanza López-Centella, Weak multiplier bialgebras, Trans. Am. Math. Soc., ISSN 1088-6850 (online), ISSN 0002-9947 (print), [arXiv:1306.1466].

  [5] Gabriella Böhm, Florian Nill and Kornél Szlachányi, Weak Hopf algebras I. Integral theory and C* -structure, J. Algebra 221 (1999), 385-438, [arXiv:9805116].

  [6] Stefaan Caenepeel and M. De Lombaerde, A categorical approach to Turaev's Hopf group-coalgebras, Comm. Algebra 34 (2006), 2631-2657, [arXiv:0409600].

  [7] Stefaan Caenepeel and Isar Goyvaerts, Monoidal Hom-Hopf algebras, Comm. Algebra 39 (2011), 2216-2240, [arXiv:0907.0187].

  [8] Kenny De Commer and Thomas Timmermann, Partial compact quantum groups, J. Algebra 438 (2015) 283-324, [arXiv:1409.1685].

  [9] Takahiro Hayashi, Compact quantum groups of face type, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 32 (2) (1996), 351-369, [EMS:1996-032-002-06].

  [10] Byung-Jay Kahng and Alfons Van Daele, The Larson-Sweedler theorem for weak multiplier Hopf algebras, [arXiv:1406.0299].

  [11] Abdenacer Makhlouf and Sergei D. Silvestrov, Hom-algebras and Hom-coalgebras, J. Algebra Appl. 9 (2010), 553-589, [arXiv:0811.0400].

  [12] Eisenberg Moss Sweedler, Hopf algebras, Mathematics Lecture Note Series (1969), W. A. Benjamin, Inc., New York, MR 0252485.

  [13] Mitsuhiro Takeuchi, Groups of algebras over A^op A, J. Math. Soc. Japan 29 no. 3 (1977), 459-492, [PROJECT euclid:1240432948].

  [14] Vladimir G. Turaev, Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories, [arXiv:0005291].

  [15] Alfons Van Daele, Multiplier Hopf algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 342 (1994), no. 2, 917-932, [AMS:S0002-9947-1994-1220906-5].

  [16] Alfons Van Daele and Shuanhong Wang, Weak Multiplier Hopf Algebras. Preliminaries, motivation and basic examples, in: `Operator Algebras and Quantum Groups', W. Pusz and P.M. Soltan (eds.), Banach Center Publications (Warsaw), Vol. 98 (2012), 367-415, [arXiv:1210.3954].

  [17] Alfons Van Daele and Shuanhong Wang, Weak Multiplier Hopf Algebras. The main theory, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), Vol. 2015, Issue 705, 155-209, [arXiv:1210.4395].