Resumen de Cohomologies of monoids and the classification of monoidal groupoids
María Calvo Cervera
Las categorías monoidales surgen en distintas ramas de las matemáticas y han sido, por tanto, ampliamente estudiadas en la literatura. Los grupoides monoidales pequeños, que aparecen por ejemplo en álgebra y en topología algebraica, son objetos matemáticos importantes en sí mismos. La mayor parte del trabajo presentado en esta tesis está motivado por el análisis de distintos tipos de grupoides monoidales, y su objetivo último es probar teoremas de clasificación cohomológica para ellos. Algunos de estos resultados han sido establecidos usando teorías de cohomología ya conocidas y estudiadas, mientras que otros han necesitado el desarrollo de nueva teorías. Por lo tanto, esta memoria contribuye también al estudio de monoides bajo un punto de vista homológico.
La tesis se encuentra divida en cinco capítulos. Estos capítulos pueden leerse de forma bastante independiente, aunque comparten gran parte de terminología y argumentos técnicos. Exceptuando algunos cambios de notación realizados para unificar la presentación, y que la bibliografía se encuentra recopilada al final, el Capítulo 1 ha sido publicado en la revista Semigroup Forum (2013), el Capítulo 3 en Semigroup Forum (2015), el Capítulo 4 en Mathematics (2015), mientras que los Capítulos 2 y 5 corresponden a artículos pendientes de publicación.
En el Capítulo 1 analizamos la estructura de grupoides monoidales arbitrarios, es decir, categorías pequeñas cuyos morfismos son todos invertibles y enriquecidas con un producto tensor, un objeto unidad y los isomorfismos naturales de asociatividad y unidad izquierda y derecha. Estos isomorfismos han de verificar, los diagramas llamados usualmente el pentágono de asociatividad y el triángulo de la unidad.
Inspirados por trabajos de Schreier, Grothendieck, Sinh y Breen, entre otros, desarrollamos una teoría de Schreier-Grothendieck 3-dimensional para grupoides monoidales. Concretamente, nuestras conclusiones al respecto se resumen en la existencia de biequivalencias entre la 2-categoría de grupoides monoidales y la 2-categoría de lo que hemos denominado sistemas de Schreier para grupoides monoidales} o 3-cociclos no abelianos para monoides. En esta categoría toda equivalencia es un isomorfismo y por tanto nuestros resultados de clasificación son efectivos.
Una vez alcanzada esta clasificación nos centramos en el caso de grupoides monoidales abelianos, es decir, grupoides monoidales cuyos grupos de isotropía son todos abelianos. Aquí los resultados pueden ser expresados de una forma más precisa por medio de la teoría de cohomología de Leech. La cohomología de Leech para un monoide M toma coeficientes en funtores desde la categoría D M a grupos abelianos, llamados usualmente D M-módulos. Esta categoría D M tiene por objetos el conjunto de elementos de M y por morfismos el conjunto MxMxM, con (a,b,c):a -> abc. Así, los grupos de cohomología de M con coeficientes en A,, están definidos como los grupos de cohomología de la categoría D M.
Las biequivalencias arriba especificadas se restringen en el caso de grupoides monoidales abelianos a biequivalencias entre la 2-subcategoría plena de grupoides monoidales abelianos, y la 2-subcategoría plena dada por aquellos sistemas de Schreier cuyos grupos son todos abelianos. En este caso obtenemos la clasificación de los grupoides monoidales abelianos y de los funtores monoidales entre ellos a través de los grupos del tercer y segundo grupo de cohomología de Leech. Estos resultados generalizan los ya obtenidos por Sinh para la clasificación de grupos categóricos.
En el Capítulo 2 trabajamos con los grupos de homología y de cohomología de Leech. En este capítulo calculamos los grupos de (co)homología de Leech de monoides cíclicos finitos, cuya estructura y clasificación fue establecido por primera vez por Frobenius. Aunque los grupos de (co)homología de cualquier grupo cíclico finito son bien conocidos desde que fueron calculados en 1949 por Eilenberg, no es así para los monoides cíclicos finitos. De hecho, hasta donde sabemos, los grupos de cohomología de Leech de monoides cíclicos han sido únicamente calculados para el caso infinito (es decir, para el monoide aditivo de números naturales), y hasta dimensión 2 para el caso finito por Leech. Por tanto, puesto que los grupos de cohomología superiores son interesantes para nosotros (principalmente debido a nuestra interpretación del tercer grupo de cohomología en el Capítulo 1), dedicamos este capítulo a calcular todos los grupos de cohomología de cualquier monoide cíclico finito.
En el Capítulo 3 pasamos a trabajar con monoides conmutativos. La categoría de monoides conmutativos es tripleable sobre la categoría de conjuntos, y por tanto es natural usar la cohomología del cotriple de Barr-Beck para definir una teoría de cohomología para monoides conmutativos. Esto fue realizado en los años 90 por Grillet. Recordemos que, para cualquier monoide conmutativo M, sus grupos de cohomología en esta teoría, toman coeficientes en grupos abelianos objetos en la categoría coma de monoides conmutativos sobre M. Dichos grupos abelianos objetos resultan ser H M-módulos, es decir, funtores con valores en la categoría de grupos abelianos desde la categoría H M, categoría que tiene por objetos los elementos del monoide M y por morfismos pares (a,b):a-> ab. Como los grupos de cohomología de Grillet pueden ser calculados, al menos en dimensiones bajas, por medio de cocadenas simétricas, estos grupos son normalmente denominados grupos de cohomología simétricos del monoide conmutativo M.
Gracias a estas cocadenas simétricas, en este capítulo interpretamos el tercer grupo de cohomología de Grillet en términos de grupoides monoidales estrictamente conmutativos. Concretamente, nuestro resultado de clasificación establece que las ternas (M,A,k), donde M es un monoide conmutativo, A es un H M-módulo, y k es una clase de 3-cohomología simétrica, son los invariantes para la clasificación de grupoides monoidales abelianos estrictamente conmutativos. Esta clasificación generaliza la ya conocida para categorías de Picard estrictamente conmutativas obtenida por Deligne, Fr\"{o}hlich y Wall, y Sinh.
Hasta ahora hemos trabajado con la teoría de cohomología de Leech para monoides arbitrarios y con la de Grillet para monoides conmutativos. Para un monoide conmutativo M ambos grupos de cohomología de Leech y Grillet están definidos. Aunque en dimensión uno ambos grupos de cohomología coinciden, en dimensiones superiores difieren. De hecho, se puede argumentar fácilmente que los grupos de cohomología de Leech no tienen en cuenta la conmutatividad del monoide, al contrario de lo que ocurre con la de Grillet. Por ejemplo, mientras que el segundo grupo de cohomología de Leech clasifica todas las coextensiones de grupos, el segundo grupo de cohomología simétrico clasifica las coextensiones de grupos conmutativas.
Sin embargo, los grupos de cohomología de Grillet parecen ser un poco ``estrictos'' en dimensiones mayores que dos (por ejemplo, el tercer grupo de cohomología es cero para el caso de un grupo). De ahí que, en los Capítulos restantes 4 y 5, presentemos nuevas aproximaciones a la cohomología de monoides conmutativos, principalmente motivados por el problema de clasificar tanto grupoides monoidales abelianos trenzados como simétricos.
En el Capítulo 4 definimos y estudiamos una nueva teoría de cohomología, consistente en lo que hemos denominado grupos de cohomología conmutativos para un monoide conmutativo. Para definirla nos hemos inspirado en los grupos de cohomología (segundo nivel) para grupos abelianos de Eilenberg-Mac Lane y está basada en la teoría de cohomología de Gabiel-Zisman para conjuntos simpliciales. Un ejemplo de la cohomología de Gabriel-Zisman es precisamente la cohomología de Leech. En efecto, si vemos un monoide M como un monoide simplicial podemos asociarle un conjunto simplicial clasificante W M y para cada DM-módulo A obtener los grupos de cohomología de Gabriel-Zisman de W M con coeficientes en A , que resultan ser los grupos de cohomología de Leech. Cuando el monoide es conmutativo entonces W M$ es de nuevo un monoide simplicial y podemos iterar esta construcción obteniendo un nuevo conjunto clasificante {WW M. Los grupos de cohomología de este conjunto simplicial son usados para definir los grupos de cohomología conmutativos de M con coeficientes en un H M-módulo.
Para calcular estos grupos de cohomología hasta dimensión 3 definimos un complejo de cocadenas, truncado en dimensión 4, más manejable que el original y que denominamos complejos de cocadenas conmutativas. Gracias a estas cocadenas podemos interpretar estos grupos hasta dimensión 3. En particular, probamos que los grupoides monoidales abelianos trenzados son clasificados mediante ternas (M,A,k donde M es un monoide conmutativo, A un H M-módulo y k un clase de 3-cociclo conmutativo. Este resultado generaliza el dado por Joyal-Street para grupos categóricos trenzados.
Finalmente, en el Capítulo 5, introducimos y estudiamos, para cualquier entero r>= 1, una teoría de cohomología de r nivel para monoides. Esta teoría de cohomología de r nivel es una generalización de la teoría de Eilenberg-Mac Lane para grupos abelianos a monoides conmutativos. Los grupos de cohomología de r nivel de un monoide conmutativo M tienen muchas buenas propiedades, a cuyo estudio este capítulo y un artículo compañero están principalmente dedicados. En nuestro desarrollo, el papel de los coeficientes es jugado ahora por los H M-módulos, que, recordemos, son grupos abelianos objetos en la categoría coma de monoides conmutativos sobre M.
Para cualquier monoide conmutativo M, la categoría de complejos de cadenas de H M-módulos es una categoría abeliana. Ésta categoría abeliana es de hecho una categoría monoidal simétrica. Por tanto, podemos definir DGA-álgebras conmutativas sobre H M como monoides conmutativos internos en la categoría monoidal simétrica de complejos de H M-módulos, enriquecidos con un morfismo de monoides internos A-> Z$ (Z es el H M-módulo constantemente los números enteros Z.
De forma similar al caso de DGA-álgebras conmutativas ordinarias sobre un anillo conmutativo, una construcción bar reducida A-> B(A) puede ser definida para estas DGA-álgebras sobre H M. Una vez definida esta construcción introducimos los grupos de cohomología de r nivel de A con coeficientes en un HM-módulo B como los la cohomología del complejo obtenido aplicando el funtor Hom desde B(A) a B.
Llegados a este punto definimos lo que son H M-módulos libres, que surgen como una construcción adjunta izquierda al funtor olvido desde la categoría de H M-módulos a la categoría coma de conjuntos sobre el conjunto M. En particular, introducimos el H M-módulo libre sobre la aplicación identidad id_M:M -> M, denotado por Z M$. Dicho H M-módulo resulta ser además una DGA-álgebra conmutativa sobre H M (con graduación trivial) y, por tanto, para cada entero positivo r podemos definir los grupos de cohomología de r nivel de un monoide conmutativo M con coeficientes en un \HH M-módulo A como los grupos de cohomología de Z M con coeficientes en A.
Esta teoría de cohomología recupera, en su primer nivel, la cohomología de Leech para monoides conmutativos, y en su segundo nivel la teoría de cohomología conmutativa introducida en el capítulo anterior.
En cuanto a los grupos de cohomología de tercer nivel, encontramos entre ellos los invariantes para clasificar grupoides monoidales abelianos simétricos. Es decir, los grupoides monoidales abelianos simétricos son clasificados mediante ternas (M,A,k), donde M es un monoide conmutativo, A un H M-módulo y k una clase de 5-cociclo de tercer nivel de M en A. De esta forma completamos la lista de invariantes para las clases de equivalencia de grupoides monoidales abelianos. Este resultado generaliza el obtenido por Sinh \cite[II, Proposición 5]{Si} para categorías de Picard.
Para terminar, dedicamos la última parte del capítulo a calcular grupos de cohomología de primer, segundo y tercer nivel para monoides cíclicos.
