Resumen de Métodos de integración geométrica para sistemas con función de Lyapunov
Esta tesis estudia métodos de integración numérica geométrica, específicamente, métodos numéricos diseñados para conservar la función de Lyapunov de un sistema dinámico. En otras palabras, se proponen aproximaciones numéricas cuya energía disminuye, al igual que en la ecuación diferencial de origen. Por lo tanto, se centra la atención en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que se puedan reescribir en la forma de un gradiente lineal, es decir, la parte derecha de la EDO se escribe como el producto de una matriz definida negativa y el gradiente de la función de Lyapunov del sistema. Con este objetivo, se implementan métodos de gradiente discreto para la integración numérica de un sistema de EDO. Los métodos de gradiente discreto son esquemas implícitos, que dan lugar a sistemas dinámicos discretos que poseen la misma función de Lyapunov que el sistema continuo. En este trabajo se demuestra que es posible reescribirlos de forma explícita imponiendo determinadas condiciones sobre los parámetros del método. La formulación de un método de gradiente discreto es sencilla, pues basta con establecer la relación entre la aproximación de una matriz definida negativa y un gradiente discreto, el cual tiene propiedades similares a las del gradiente de la función de Lyapunov del sistema continuo. En principio, este procedimiento produce métodos de primer orden, pero el análisis muestra el camino para el diseño de métodos de orden superior. El método propuesto se aplica a la discretización de las redes neuronales de Hopfield, con y sin autopesos. Este sistema se considera como un caso de prueba adecuado, ya que permite definir sistemas de alta dimensión fácilmente y, en la mayoría de las aplicaciones, la conservación de su función de Lyapunov es más importante que la exactitud de las trayectorias particulares. Los resultados son corroborados por medio de experimentos numéricos, en los que el método de gradiente discreto propuesto se compara con la regla de Euler, algunos métodos comerciales de Runge-Kutta y un método de proyección, diseñado específicamente para la conservación de la función de Lyapunov. Como predice la teoría, los métodos de gradiente discretos preservan la función de Lyapunov, mientras que los métodos convencionales no lo hacen, ya que al discretizar el sistema, en algunos casos aparecen soluciones periódicas y en otros la función de Lyapunov no decrece a lo largo de las trayectorias. También como parte de la tesis se propone la extensión de alto orden del método de gradiente discreto anteriormente mencionado. En esencia, se considera la composición del método de gradiente discreto de primer orden con su adjunto, dando como resultado un método de gradiente discreto de segundo orden. El método adjunto es la aplicación inversa del método original con el tamaño de paso negativo. Por último, se diseñan experimentos numéricos con el objetivo de validar el funcionamiento del método propuesto, en los que se compara con el método de gradiente discreto de primer orden y la regla trapezoidal. En estos experimentos se muestra la capacidad de este método tanto para conservar la función de Lyapunov del sistema continuo como para aproximarlo con precisión. En este caso, también se utilizan las redes de Hopfield como caso de estudio, considerando la ausencia de autopesos. Teniendo en cuenta los resultados de las simulaciones en cada caso, se concluye que tanto el método de gradiente discreto como su extensión son una opción válida y prometedora para la discretización de sistemas de gradiente con función de Lyapunov.
