Resumen de Estabilidad en teoría combinatoria de la representación
Esta tesis presenta el estudio de dos familias de coe?cientes: los coe?cientes del pletismo y los coe?cientes de Kronecker. Ambas familias emergen de la teoría de representaciones y la teoría de funciones simétricas. Por un lado, en 1950, Foulkes observó varias propiedades de estabilidad en sucesiones de coe?cientes del pletismo dependientes de un parámetro n: las sucesiones son eventualmente constantes para n su?cientemente grande. Estas propiedades fueron probadas en los 90 por Carré y Thibon, usando operadores vertex y otros argumentos combinatorios de funciones simétricas, y por Brion para grupos algebraicos en general (no solo para el grupo general linear) y usando herramientas geométricas de la teoría de representaciones. Incluimos una prueba detallada de los resultados probados por Carré y Thibon con el ?n de obtener las cotas para las que dichos coe?cientes son constantes. También presentamos una interpretación combinatoria de otros coe?cientes del pletismo, los h-coe?cientes del pletismo, de?nidos a partir de la base de funciones homogéneas. Estos coe?cientes están relacionados directamente con los coe?cientes del pletismo usuales mediante la fórmula de Jacobi-Trudi. Esta interpretación combinatoria de los h-coe?cientes del pletismo los describe como el número de puntos enteros en un polítopo que depende de las particiones que indexan los coe?cientes. Esta nueva interpretación nos permite dar una demostración combinatoria de las propiedades de estabilidad de Brion, Carré y Thibon. Por otro lado, en 1938, Murnaghan observó un fenómeno de estabilidad en los coe?cientes de Kronecker: la sucesión de coe?cientes de Kronecker, cuyas particiones asociadas tienen una primera parte creciente, son eventualmente constantes. Los coe?cientes de Kronecker reducidos se pueden de?nir como el valor estable de estas sucesiones de coe?cientes de Kronecker. Los coe?cientes de Kronecker reducidos son objetos interesantes en sí mismos, y podemos recuperar los coe?cientes de Kronecker a partir de ellos. Nosotros investigamos qué ocurre cuando añadimos cajas a las ?las y columnas de las particiones que indexan los coe?cientes de Kronecker reducidos. Presentamos un estudio de cuatro familias. Para la primera familia de coe?cientes de Kronecker reducidos damos fórmulas explícitas de los quasipolinomios lineales de periodo 2 a trozos que los de?nen, dependiendo de las particiones asociadas. Las otras tres familias tienen en común que una de las particiones que las indexan tiene una sola parte, y que las otras dos particiones son arbitrariamente grandes. Para estas tres familias, presentamos un estudio completo: la función generatriz de los coe?cientes de Kronecker reducidos y dos descripciones combinatorias, una en términos de particiones planas en un rectángulo y otra como quasipolinomios, especi?cando el periodo y el grado de los mismos. Además, comprobamos que la hipótesis de saturación se satisface para los coe?cientes de Kronecker reducidos de estas tres familias. Otro enfoque interesante para los coe?cientes de Kronecker reducidos son los operadores vertex. Incluimos una prueba del teorema de Murnaghan usando operadores vertex. Esta prueba nos proporciona una descripción de los coe?cientes de Kronecker reducidos obtenida por Brion. Los operadores vertex también son usados para dar una descripción de los coe?cientes de Kronecker reducidos con una partición asociada de una sola parte en términos de los coe?cientes de Littlewood-Richardson.
