Resumen de Integrals de curvatura i geometria integral a l'espai hiperbòlic
Se estudian la integrales de curvatura de hipersuperficies en el espacio hiperbólico utilizando técnicas de geometría integral. El trabajo empieza analizando los espacios de planos del espacio hiperbólico. El primer resultado interesante que se obtiene después de este estudio es una fórmula dde Cauchy-Crofton en la llamada esfera de Sitter. Las ideas que derivan de la demostración de esta fórmula permite probar una fórmula para la integral de la curvatura de Gauss de una hipersuperficie cerrada en el espacio hiperbólico. Dicha fómula es equivalente al teorema de Gauss-Bonnet en el espacio hiperbólico pero tiene una expresión mucho más simple a la vez que da una nueva demostración de éste. Por otro lado, también se demuestra, con el mismo género de ideas, una fórmula para la curvatura total absoluta de subvarriedades hiperbólicas tight. Esta formula sirve para probar que toda inmersión tight de un toro en el espacio hiperbólico cumple la desigualdad de Chern-Lashof. Cabe decir que en este trabajo se construyen ejemplos de superficies orientables de cualquier género mayor que uno para las cuales dicha desigualdad no se cumple.
Posteriormente, utilizando algunos de los resultados previos, se encuentran desigualdades para las integrales de curvatura media de conjuntos convexos hiperbólicos. Concretamente se encuentran cotas para cualquier cociente entre dos integrales de curvatura media del borde de un dominio convexo en el espacio hiperbólico; así como entre una integral de curvatura y el volumen del borde o del interior .
También se construyen ejemplos que demuestran que algunas de estas desigulades no se pueden mejorar.
En una última parte se dan fórmulas de geometría integral para subvariedades totalmente umbilicales del espacio hiperbólico.
