Resumen de Familias de superficies de Riemann, uniformización y aritmeticidad
Sebatián Reyes Carocca
Como consecuencia del Teorema de Riemann-Roch, toda superficie de Riemann compacta R puede describirse por medio de curvas algebraicas complejas (proyectivas y suaves). Se dice R es aritmética si podemos escoger tal curva definida sobre el cuerpo de los números algebraicos. El Teorema de Belyi nos asegura que R es aritmética si es posible encontrar una función meromorfa no-constante con a lo mas 3 valores de ramificación (llamada una función de Belyi). También se dice que R es una curva de Belyi.
De manera similar, una variedad algebraica proyectiva compleja X de mayor dimensión es llamada aritmética si es posible encontrar una verdad algebraica isomorfa qaue esté definida sobre los números algebraicos. Existen algunos resultados (Gabino González-Díez) para cierto tipo de variedades algebraicas (caso de superficies) que generalizan el resultado anterior válido para el caso de curvas.
El importante notar que, debido al Teorema de Uniformización, la aritmeticidad de una curva algebraica (o superficie de Riemann) no puede ser deducida del cubrimiento holomorfo universal. En esta tesis, Sebastián Reyes obtiene, para el caso de superficie algebraicas ( ciertas propiedades), que la aritmeticidad puede inducrise (en cierta manera) del cubriente univesal (en el sentido de Bers-Griffiths)- (Extracto sacado del informe de doctor D. Rubén A. Hidalgo Ortega).
