Resumen de On norm attaining operators and multilinear maps
- español
El principal punto de interés de esta tesis es el estudio de extensiones de los teoremas de Bishop-Phelps y Bishop-Phelps-Bollobás a diferentes contextos. Esta tesis se divide en tres capítulos. En el primero hacemos un repaso de la teoría de funcionales que alcanzan la norma. En este resumen introducimos el Teorema de Bishop-Phelps y el Teorema de Bishop-Phelps-Bollobás. El segundo capítulo está dedicado al estudio de extensiones de los resultados de Bishop-Phelps y Bishop-Phelps-Bollobás al caso de operadores. En la sección 2.2 estudiaremos la extensión de estos resultados al caso de operadores desde el punto de vista de alcanzar el radio numérico, para concluir en la sección 2.3.1 que el espacio L_1 satisface la Propiedad de Bishop-Phelps-Bollobás para el Radio Numérico. Concluimos esta sección presentando el resultado de Lindenstrauss que establece que el conjunto de operadores cuya extensión al bidual alcanza la norma es denso. Este resultado es la motivación de nuestro estudio en las secciones 3.2 - 3.6 del próximo capítulo. En el tercer capítulo, extendemos la teoría de formas lineales que alcanzan la norma al caso no lineal. Motivados por la línea de trabajo iniciada por Lindenstrauss, nuestro principal interés es estudiar el comportamiento de las extensiones al bidual de funciones multilineales desde el punto de vista de alcanzar la norma. En particular nos centramos en el estudio de las extensiones de formas multilineales sobre el espacio l_1, véanse las secciones 3.4 y 3.5. Para finalizar, en la sección 3.6 estudiaremos la relación entre los teoremas de Lindenstrauss-Bollobás introducidos por Carando, Lassalle y Mazzitelli y la versión n-lineal del Teorema de Bishop-Phelps-Bollobás para espacios M-embedded o L-embedded en su bidual.
- English
This thesis is divided into three chapters. In the first one we do a summary of the state of the art about norm attaining linear forms. We will introduce the Bishop-Phelps and Bishop-Phelps-Bollobás Theorems, the study of whose extensions to different contexts is the main point of interest in this dissertation. The second chapter is devoted to the study of operator versions of Bishop-Phelps and Bishop-Phelps-Bollobás Theorems. In Section 2.2 we will study the extension of these results to the operator case from the point of view of attaining the numerical radius to conclude in Section 2.3.1 that the space L1 satisfy the Bishop-Phelps-Bollobás Property for Numerical Radius. To finish, we will present the Lindenstrauss' result about norm attaining extensions of operator, which will be the motivation of our study from Section 3.2 to Section 3.6 in the next chapter. In the third chapter, we extend the theory of norm attaining linear forms to the non-linear case. Focusing on the line of work initiated by Lindenstrauss, our main point of interest is to study whether the extensions of multilinear maps to the bidual are norm attaining, with special interest on multilinear forms over the space l1, see Sections 3.4 and 3.5. To finish, in Section 3.6 we will study the dependence of the Lindenstrauss-Bollobás Theorems introduced by Carando, Lassalle and Mazzitelli, and the n-linear version of Bishop-Phelps-Bollobás Theorem for spaces M-embedded or L-embedded in the bidual.
