Resumen de Problema variacional múltiple
La tesis, se estructura en 4 capítulos.
En el Capítulo 1, vamos a abordar el estudio de las soluciones eficientes y débilmente eficientes para un problema de programación multiobjetivo (PM). Es evidente la importancia del estudio de (PM) por el problema en sí mismo, y además en cuanto a que nos ofrece pistas para el estudio de (PVM). El problema (PM) ha sido largamente abordado en la literatura matemática reciente, en particular para soluciones eficientes y débilmente eficientes. En este capítulo vamos a generalizar al caso multiobjetivo la clase de funciones KT-invex que introdujo Martín [32] para el caso escalar, así como el resultado establecido por Martín y por el que la clase KT-invex queda caracterizada por que todo punto de ensilladura de Kuhn-Tucker es solución óptima, aplicado a un problema escalar con restricciones de la forma (P). Para el caso débilmente eficiente, recientemente Osuna, Rufián y Ruiz [46], y Osuna, Beato y Rufián [45]n han introducido nuevas clases de funciones que generalizan la clase KT-invex al caso multiobjetivo, y para las que se cumple que todo punto de ensilladura de Kuhn-Tucker es solución débilmente eficiente para (PM), y que a su vez caracteriza a estas clases de funciones. Avanzamos en el estudio de las soluciones débilmente eficientes desde la condición de optimalidad de punto de ensilladura de Fritz-John, para lo que introducimos una nueva clase de funciones y que probamos que queda caracterizada por que todo punto de ensilladura de Fritz-John es solución débilmente eficiente para el problema de programación matemática multiobjetivo. Para el caso de soluciones eficientes de un problema multiobjetivo con restricciones, generalizamos la clase de funciones KT-inves mediante la introducción de una nueva clase de funciones, y establecemos que queda caracterizada por que todo punto de ensilladura de Kuhn-Tucker es solución eficiente, por lo que generalizamos el resultado establecido por Martín, y que supone una novedad y mejora de los resultados existentes en el estudio de la eficiencia. Similares resultados establecemos en el estudio de las soluciones eficientes desde la condición de optimalidad de Fritz-John, para lo que introducimos una nueva clase de funciones que queda caracterizada por que todo punto de ensilladura de Fritz-John es solución eficiente. Proponemos problemas duales del tipo Mond-Weir, y establecemos resultados de dualidad débil, fuerte e inversa tanto en el estudio de las soluciones débilmente eficientes como en el de soluciones eficientes, empleando en dicho estudio las nuevas clases de funciones, y probamos, por tanto, que son éstas las clases de funciones llamadas en el estudio de la dualidad.
En el Capítulo 2 abordamos el problema variacional escalar con restricciones (PV). Extendemos los resultados obtenidos para los problemas escalares de programación matemática, como los aportados por Martín [32], a los problemas variacionales. Y para ello, hemos mejorado los resultados existentes para los problemas variacionales escalares, en cuanto que hemos aportado clases de funciones nuevas que quedan caracterizadas por ser aquellas para las que todo punto crítico es solución al problema variacional (PV). Y ello, desde la condición de optimalidad de punto crítico de Kuhn-Tucker o de Fritz-John. En la sección correspondiente al caso estático probamos que la clase KT-invex introducida por Martin, así como las condiciones de optimalidad de Kuhn-Tuker y Fritz-John utilizadas en los problemas escalares de programación matemática y los resultados de optimalidad obtenidos son en realidad un caso particular de las nuevas clases que hemos introducido, de las condiciones de Kuhn-Tucker y Fritz-Johm y de los resultados que aportamos para los problemas variacionales escalares. Por otro lado, establecemos resultados de dualidad débil, fuerte e inversa, y probamos que tanto los problemas duales que presentamos, como los resultados obtenidos con éstos, generalizan los ya existentes en programación matemática escalar.
En el Capítulo 3 nos centramos en el estudio de la eficiencia débil. Para ello, presentamos nuevas condiciones de optimalidad, y que denominamos de ensilladura débil. Probamos que esta nueva condición es necesaria para que un punto sea solución débilmente eficiente. Ante esta novedad, aportamos un ejemplo para constatar que existen puntos de ensilladura débil que no son puntos débilmente eficientes para nuestro problema. Introducimos una nueva clase de funciones que relacionamos con las anteriores. Probamos que para que un punto de ensilladura débil sea solución débilmente eficiente es necesario y suficiente que la función del problema pertenezca a esta nueva clase de funciones. Con ello, logramos dar respuesta en términos de caracterización a la búsqueda de condiciones sobre las soluciones débilmente eficientes. En la sección correspondiente al caso estático, mostramos que en realidad la nueva clase de funciones, así como las condiciones de optimalidad, generalizan a clases de funciones y condiciones de optimalidad, respectivamente, ya existentes en la programación matemática multiobjetivo presentadas por Osuna, Rufián y Ruiz [46] y mostradas en el primer capítulo.
En el capítulo 4 estudiamos el problema variacional múltiple (PVM) con restricciones en la búsqueda de soluciones eficientes. Damos respuesta en términos de condiciones necesarias y suficientes para que un pinto de ensilladura sea solución eficiente de (PVM). Introducimos dos nuevas clases de funciones, que suponen dar un nuevo paso y mejorar a los resultados ya existentes, ya que probamos que estas clases quedan caracterizadas por que todo punto de ensilladura de Kuhn-Tucker y todo punto de ensilladura de Fritz-John son soluciones eficientes del problema variacional multiobjetivo con restricciones (PVM), respectivamente. En la sección correspondiente al caso estático, mostramos que el estudio de soluciones eficientes para un problema variacional multiobjetivo generaliza el que realizamos sobre soluciones eficientes para problemas multiobjetivo de programación matemática en el primer capítulo es decir, que tanto las nuevas clases de funciones que introducimos en este capítulo, como los resultados sobre sus caracterizaciones son una generalización a los problemas variacionales de los que obtuvimos para problemas de programación matemática. Proponemos dos problemas a nuestro problema variacional multiobjetivo y establecemos resultados de dualidad débil, fuerte e inversa, con cada respectivo problema dual. Y constatamos que los resultados obtenidos en este estudio de la dualidad, con soluciones eficientes, extienden y generalizan los resultados para los problemas de programación matemática multiobjetivo, aportados en el primer capítulo.
