Convergence and causal completion in Lorentzian geometry

• Autores: Saúl Andrés Burgos Rodríguez
• Directores de la Tesis: Miguel Sánchez Caja (codir. tes.) , José Luis Flores (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2026
• Idioma: inglés
• ISBN: 9791370153663
• Número de páginas: 160
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  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen

  • Desde su formulación, la Relatividad General ha tenido a la geometría de Lorentz como marco matemático natural. Aunque la teoría matemática clásica de la relatividad general requiere una métrica diferenciable (regularidad al menos (C^2)), en [72, §8.4] Hawking y Ellis discuten la naturaleza de las singularidades predichas por los teoremas de singularidad y sugieren una posible demostración para métricas de baja regularidad ((C^{1,1})). Esta línea de investigación ha sido explorada ampliamente en los últimos años en el trabajo de distintos autores. Esta Memoria explora la interacción entre los regímenes diferenciable y sintético, centrándose en las funciones tiempo, la convergencia de espaciotiempos, el borde causal y la geometría de los espaciotiempos de Robertson-Walker generalizados (GRW). En el Capítulo 1 se lleva a cabo una revisión completa de las funciones tiempo en espaciotiempos con borde temporal y su relación con la distancia nula de Sormani-Vega. Además de analizar su regularidad local y estabilidad, se establecen caracterizaciones de las funciones h-steep que permiten conectar estas funciones con la estructura conforme del espaciotiempo. Mediante el uso de técnicas de rotación de Wick, se proporcionan las herramientas necesarias para reducir problemas lorentzianos a un marco riemanniano, sentando así las bases técnicas para los resultados de convergencia de tipo Cheeger-Gromov que se desarrollan en el siguiente capítulo. Después de este análisis, abordamos la convergencia intrínseca de métricas semi-riemannianas en el entorno diferenciable. Mientras que la convergencia riemanniana es clásica y está bien establecida, la versión lorentziana resulta compleja debido a la falta de compacidad del grupo de Lorentz. El Capítulo 2 desarrolla un marco para la convergencia de Cheeger-Gromov lorentziana mediante la introducción de variedades semi-riemannianas «ancladas» (anchored), las cuales introducen una descomposición ortogonal en un punto base para asegurar la unicidad de los límites. Al emplear funciones temporales de Cauchy y la rotación de Wick, transformamos el problema lorentziano en uno riemanniano, lo que nos permite establecer resultados de existencia y unicidad globales para sucesiones de espaciotiempos globalmente hiperbólicos. Sin embargo, el estudio de los límites conduce de forma natural más allá de la categoría diferenciable. Así como los límites débiles de las variedades riemannianas son a menudo espacios de longitud métricos, los límites de los espaciotiempos encuentran su lugar natural en el entorno sintético de los espacios de longitud lorentzianos. En este contexto no diferenciable, la teoría causal sigue siendo una herramienta vital, específicamente a través del borde causal: una construcción intrínseca y conformemente invariante que proporciona una forma sistemática de completar un espaciotiempo. El Capítulo 3 extiende la construcción del borde causal al amplio escenario sintético de los espacios métricos lorentzianos. Demostramos que, para espacios separables y cronológicamente densos que satisfacen la propiedad S aquí introducida, la completación causal hereda una estructura de espacio métrico lorentziano bien definida. Esta completación actúa como una extensión natural que preserva las distancias lorentzianas, resulta sensible a la estructura causal subyacente y extiende los límites de puntos del espacio original al borde. Finalmente, particularizamos estas herramientas en un contexto cosmológico. El Capítulo 4 se centra en la completación causal futura de espaciotiempos Robertson-Walker generalizados globalmente hiperbólicos. Describimos las propiedades causales específicas de estas completaciones y demostramos que, bajo una condición de Hausdorff sobre la topología cronológica, la completación causal futura es, en sí misma, un espacio de pre-longitud lorentziano globalmente hiperbólico. Este resultado refuerza la utilidad de la geometría sintética para describir la estructura asintótica del universo.